Меню Рубрики

Событие а появление нечетного числа очков

Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

Какими являются события C, D, E?

1. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом», событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоит событие А+В?

2. Событие А – «ученик учится без троек», событие В – «ученик учится без двоек», событие С – «ученик не отличник». Сформулируйте: А+В+С.

3. Событие А – «лотерейный выигрыш 10 руб.», событие В – «лотерейный выигрыш 20 руб.», событие С – «лотерейный выигрыш 30 руб.», событие D – «лотерейный выигрыш 40 руб.». В чем состоит событие А+В+С+D?

4. Событие А – «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости», событие В – «появление 3 очков при бросании игральной кости», событие С – «появление 5 очков при бросании игральной кости». В чем состоят события АВС, АВ, АС, ВС?

5. Проводятся две лотереи. Если событие А1 – «выигрыш по билету первой лотереи» и событие А2 – «выигрыш по билету второй лотереи», то что означают события: А1А2+А2, А1+А2+А1А2?

6. Известно, что события А и В произошли, а событие С не наступило. Определите, наступили ли следующие события: А+ВС, (А+В)С, АВ+С, АВС.

7. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. обозначим события: А1 – «он пошел первой дорогой», А2 – «он пошел второй дорогой».

Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события: В1 – «он пошел первой дорогой», В2 – «он пошел второй дорогой», В3 – «он пошел третьей дорогой».

Применяя понятия суммы и произведения, а также противоположного события, постройте события, состоящие в том, что:

— от А до В он выбрал дорогу наугад, а от В до С пошел третьей дорогой;

— от А до В он пошел первой дорогой, а от В до С – дорогой, выбранной наугад;

— от А до В он пошел не первой дорогой, а от В до С – не третьей;

Занятие №3. Эксперименты и их исходы.

Первый шаг на пути ознакомления учащихся с понятием вероятность состоит в длительном экспериментировании, то есть в многочисленных манипуляциях с разнородными предметами (игральными костями, волчками, монетами, шарами и прочими).

Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить на группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.

Могут быть предложены следующие задания-эксперименты:

Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.

Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста. Подсчитайте, сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.

Задание №5. 100 раз подбросить игральную кость и зафиксировать количество выпадений 6.

После проведения экспериментов целесообразно ввести понятия эксперимента и его исхода. Четкое определение и разграничение при проведении реальных физических экспериментов таких понятий, как исход эксперимента и событие, возможное в эксперименте, в дальнейшем поможет избежать многих трудностей при введении понятия вероятности случайного события.

Занятие №4. Классическое определение вероятности.

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события. Таким образом, вероятность есть число, характеризующая степень возможности появления события.

Формы личностно-ориентированного урока
Занятия с учащимися имеют различные формы и виды. Это могут быть уроки, консультации, зачеты, семинары и конференции, учебные экскурсии. В практике обучения истории проводят уроки, сходные по каким- .

Некоторые показатели готовности к обучению детей с особыми проблемами развития
Формирование готовности к школьному обучению у ребенка в значительной степени связано с развитием его нервно-психических функций, что, в свою очередь, обусловлено созреванием организма и, прежде вс .

Понятие, свойства и требования к лекции
Лекция (от лат. lectio — чтение) — систематическое, последовательное изложение учебного материала, какого-либо вопроса, темы, раздела, предмета, методов науки. Различают лекции учебные и публичные. .

источник

1. Найдите среди следующих случайных событий достоверные и невозможные события:

А1 – появление 10 очков при бросании игральной кости,

А2 – появление 10 очков при бросании трех игральных костей,

А3 – появление 20 очков при бросании трех игральных костей,

А4 – наугад выбранное двузначное число не больше 100,

А5 – появление двух гербов при бросании двух монет.

2. Являются ли несовместными события А1 и А2:

а) испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 – появление цифры;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление трех очков, А2 – появление нечетного числа очков,

в) испытание – бросание двух монет; события: А1 –появление герба на одной монете, А2 – появление герба на другой монете?

3. Являются ли равновозможными события А1 и А2:

а) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление двух очков, А2 – появление пяти очков;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А1 – появление двух очков, А2 – появление четного числа очков;

в) испытание – два выстрела по мишени; события: А1 –промах при первом выстреле, А2 – промах при втором выстреле?

4. Образуют ли полную группу события:

а) испытание – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 – появление цифры;

б) испытание – два выстрела по мишени; события: А1 – ни одного попадания, А2 – одно попадание, А3 – два попадания?

а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А – появление одного очка, В – появление двух очков, С – появление трех очков;

в) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А – выигрыш 10 рублей; В – выигрыш 20 рублей; С – выигрыш 25 рублей.

6. Найти произведение событий:

а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А – непоявление трех очков, В – непоявление пяти очков, С – появление нечетного числа очков.

1. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?

2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера 4? Какова вероятность выпадания номера большего 4?

3. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:

4. На карточках написаны буквы О, К, Т. Карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?

5. На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р, С, О, А, М. Карточки перемешиваются и из них четыре выкладываются наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?

6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?

7. Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того, что выбраны нужные цифры.

Решить задачу, если забыты три последние цифры.

8. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся черными?

9. Подброшены медная и серебряная монеты. Какова вероятность того, что на обоих монетах появится ГЕРБ?

10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

11. В упаковке на складе 10 смывных бачков, среди них 4 с пластмассовыми поплавками. На удачу взяты 2 бачка. Найти вероятность того, что оба бачка с пластмассовыми поплавками.

12. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

13. Для облицовки жилого дома завезена облицовочная плитка. В ящике находится 300 плиток. Брак продукции составляет 2 %. Найти вероятность того, что первые три взятые плитки не будут бракованными.

14. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

15. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

16. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

17. Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

18. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из 10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.

19. Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди купленных билетов окажется:

20. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?

21. В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные являются мастерами спорта?

22. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

23. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

24. В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

25. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что выиграет хотя бы один билет.

26. Имеется r шаров, которые случайным образом разбрасываются по n ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут ровно r1 шаров, во второй r2 шаров и т.д., в n-ый ящик rn шаров.

27. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

Читайте также:  Средство для очищения линз очков

28. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

29. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее, чем l .

30. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата.

31. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».

32. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

33. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б)четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?

34. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных банков окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?

35. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

36. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

37. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.

38. Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

39. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?

40. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?

41. Найти вероятность того, что из десяти книг, расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.

42. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.

43. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

44. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

45. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него квадрата.

46. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2 %. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5 % брака, будет принята.

1/3, 1/2 19 б 91/228 33 а
1/6, 1/3 19 в 5/38 33 б
1/50, 49/50 19 г 35/76 33 в
1/6 3/10 34 а
1/360 1/22 34 б
1/60 0,302
1/90 0,2381
7/15 0,049 37 а
1/6 37 б
24/91 37 в
2/15 27 а 1/216 38 а
0,3 27 б 1/36 38 б
27 в 5/54 39 а
½ 39 б 0,099
0,4
14/55 .
1/15 31 а 1/Р7=1/7!= =0,000198 а) 0,125; б) 0,5
1/5 31 б Р2Р3Р2Р2/Р10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 а 1/114 1/Р5=1/5!= =,00833 0,4375

-основные формулы теории вероятностей

— находить вероятность произведения, суммы событий, появления хотя бы одного события;

Дата добавления: 2014-11-29 ; Просмотров: 3692 ; Нарушение авторских прав? ;

источник

Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.

Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: «Какое из событий вероятней? «.

Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.

Например. Что вероятнее –появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?

Вероятность появления герба при бросании монеты равна 1\2, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 3\6 или 1\2.

Следовательно, эти события равновероятные.

После изучения данного материала, ученики должны уметь:

Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;

Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;

Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.

При введении понятия «вероятностное пространство» ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: «подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой» или «зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит». Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.

Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.

Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.

Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.

В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:

2. , В0-выпадение четного числа очков, В1-выпадение нечетного числа очков;

3. , С1-выпадение очков меньше или равно 4, С2-выпадение очков больше или равно 5.

Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество , где Аk выпадение k очков, или множество , где В1-выпадение нечетного числа очков, С2 — выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!

Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать «единицу измерения». Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.

С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.

Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1\n, где n-число исходов.

Следует пояснить учащимся, что этот подход называется классической схемой теории вероятностей.

Полезно выполнить следующие упражнение:

Вероятностное пространство задано следующей таблицей:

Во сколько раз исход Х3 вероятнее исхода Х2. какие исходы равно вероятностны?

Это задание предложено с целью формирования у учащихся умений выявлять вероятностное пространство, а так же умений выделять равновероятностные исходы, сравнивая их.

Необходимо пояснить учащимся, что существует несколько подходов к определению вероятности.

1. Классическое определение вероятности.

Урок можно провести в форме лекции-диалога [Гл.1§5] т. к. это определение фиксирует долю благоприятных для данного события исходов среди всех равновозможных, необходимо научить определять число всех равновозможных исходов. После определения вероятности рекомендуется решить несколько задач на непосредственное нахождение вероятностей событий согласно классическому определению, тем саамы выявить алгоритм решения таких задач.

2) сосчитать число всех исходов (n)

3) сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию m

4) найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов

На отработку алгоритма предлагается решить следующие задачи.

Задача 1. В урне 3красных шара, 2 белых и 4 синих. Какова вероятность того, что с первого раза вынут красный шар?

Задача 2. При броске игральной кости вычислить вероятность следующих событий

«выпало четное число очков»

«выпало простое число очков»

«число выпавших очков кратно 3».

Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее на удачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Задача 4. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал герб, а на другой цифра?

Для запоминания учащимися формулы Р(Н) =m\n, полезно придать ей наглядную иллюстрацию. (рис.15)

Н — случайное событие, n-число всех равновозможных элементарных событий, m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию Н.

Затем следует перейти к изучению свойств вероятности и совместно с учащимися установить, что:

1) если А некоторое событие, то 0≤Р(А) ≤1;

2) 0(И) =1, где И-достоверное событие;

3) 0(√) =0, где √-невозможное событие.

2. Статистическое определение вероятности.

Главное, чтобы учащиеся поняли, что при статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Ученикам следует пояснить, что существует еще геометрическое определение вероятности и существует аксиоматическое определение вероятности события.

Прежде чем приступать к формулированию и доказательству этих теорем, необходимо вспомнить определение суммы и произведения событий; совместных и несовместных событий.

Вначале на примере задачи следует дать учащимся представление о формулировке теоремы 1.

Задача 1. экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?

Пусть событие А –номер работы кратный10. событие В-номер работы кратный 11, тогда событие А+В состоит в том, что номер работы кратен 10 или 11. Легко видеть это Р(А) =9\90 (1), и Р(В) =8\90 (2), а т. к. число исходов благоприятствующих событию А+В равно 17 и, следовательно Р(А+В) =17\90 (3).

Сравнивая (3) с (1) и (2), видим что вероятность события А+В и сумма вероятностей событий А и В равны между собой, т. е Р(А+В) =Р(А) +Р(В)

Формулировка теоремы достаточно проста, поэтому учащиеся самостоятельно и могут предложить.

Читайте также:  Офисные очки цена на них

Решение задачи может быть использована для выявления способа доказательства сформулированной теоремы. Достаточно обратить внимание на основные моменты решения.

1) подсчет числа всех исходов испытания

2) нахождение числа исходов испытания, благоприятствующих появлению событий А; В;

3) отыскание числа исходов испытания, благоприятствующих появлению события А+В.

Полная аналогия доказательства теоремы с решением задачи позволяет учащимся самостоятельно ее доказать. Можно предложить специальную запись доказательства в виде таблицы, клетки которой заполняются учащимися.

n — число всех исходов испытания.

События Число исходов испытания, благоприятствующих появлению события Вероятность события
А m m\n
B K k\n
A+B m+k m+k\n

Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.

После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k – величины площадей нарисованных фигур.

В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать правило, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.

Задача 2. в лотерее выпущено 10000билетов и установлено: 10 выигрышей по 200рублей, 100выигрышей по 100рублей, 500-по 25рублей и 1000 выигрышей по 5рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25рублей?

Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.

Алгоритм Конкретное соответствующие задание заданному алгоритму
Ввести обозначение для заданных величин А-выигрыш не менее 25рублей
А1-выигрыш равен 25рублям
А2-выигрыш равен 100рублям
А3-выигрыш равен 200рублям
Подобрать формулу Т. к. куплен один билет, то А+А1UA2UA3Где события А1, А2, А3 попарно несовместимы, поэтому Р(А) =Р(А1UA2UA3) =P(A1) +P(A2) +P(A3) P(A1) =0.05; P(A2) =0.01; P(A3) =0.001P(A) =0.05+0.01+0.001=0.061
Ответ 0,061

С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи:

источник

ОП.02. Теория вероятностей и математическая статистика

09.02.05 Прикладная информатика по отраслям

Юрин Сергей Владимирович, преподаватель дисциплин ОП и П циклов, ГБОУ СПО «Сергачский агропромышленный техникум»

Рудницкая Алина Владимировна, преподаватель математики и информатики, ГБОУ СПО «Дзержинский педагогический колледж»

Таблица 1 Спецификация теста

Результат соотнесенности УЗ,

собирать и регистрировать статистическую информацию

Уметь рассчитывать вероятности событий, статистические показатели и формулировать основные выводы.

Знать основы комбинаторики и теории вероятностей. (УЭ: Комбинаторные принципы сложения и умножения; формулы перестановок, сочетаний, размещений с повторениями и без; классический, геометрический, статистический подход к определению вероятностей; условные вероятности; формулы сложения и умножения вероятностей; формулы полной вероятности и Байеса)

Уметь записывать распределения и находить характеристики случайных величин.

Знать основы теории случайных величин. (УЭ: Функция и плотность равномерного распределения; функция и плотность нормального распределения, распределение Бернулли; распределение Пуассона; математическое ожидание; дисперсия; связь числовых характеристик и параметров типичных распределений)

Уметь собирать и регистрировать статистическую информацию, проводить первичную обработку и контроль материалов наблюдения.

Знать методику моделирования случайных величин, метод статистических испытаний. (УЭ: Генеральная и выборочная статистические совокупности; эмпирическая функция распределения; понятия, основные характеристики и способы задания СВ, НСВ, ДСВ).

Уметь рассчитывать статистические оценки параметров распределения по выборочным данным и проверять метод статистических испытаний для решения отраслевых задач.

Знать статистические оценки параметров распределения по выборочным данным (УЭ: понятие выборки, основная задача выборочного метода, доверительная вероятность, доверительные интервалы; проверка значимости гипотез).

проводить первичную обработку и контроль материалов наблюдения

рассчитывать вероятности событий, статистические показатели и формулировать основные выводы

записывать распределения и находить характеристики случайных величин

рассчитывать статистические оценки параметров распределения по выборочным данным и проверять метод статистических испытаний для решения отраслевых задач

основы комбинаторики и теории вероятностей

основы теории случайных величин

статистические оценки параметров распределения по выборочным данным

методику моделирования случайных величин, метод статистических испытаний

Формулировка и содержание ТЗ

Событие :

a)

б)

в)

г)

а)

Событие :

a)

б)

в)

г)

в)

Наибольшее число несовместных событий:

А влечет за собой В при бросании кости:

а) А — появление четного числа очков, В — появление 6 очков

б) А — появление 4 очков, В — появление любого четного числа очков

в) А — выпадение любого нечетного числа очков В — появление 3 очков

г) А — появление любой грани, кроме 6, В — появление 3 очков

б) А — появление 4 очков, В — появление любого четного числа очков

Событие :

а)

б)

в)

г)

а)

Событие :

а)

б)

в)

г)

а)

Неверное утверждение для противоположных событий – это:

а) Событие противоположное достоверному есть невозможное

б) Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице

в) Два события единственно возможные и несовместные называются противоположными

г) Вероятность появления одного из противоположных событий всегда больше вероятности другого

г) Вероятность появления одного из противоположных событий всегда больше вероятности другого

В ящике лежат 10 черных носков и 6 зеленых, все одного размера. Вы, не глядя, вытащили 3 носка. Вероятность того, что образовалась хотя бы одна пара:

Вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет 2 или нечетное число очков:

Вероятность того что, вынув одну карту из колоды в 36 карт, Вы получите бубновую масть или валета любой масти:

Наиболее вероятно при бросании кости событие:

б) Появление любого четного числа очков

в) Выпадение любого нечетного числа очков

г) Появление любой грани, кроме 6

г) Появление любой грани, кроме 6

При бросании игральной кости события имеют место события: А – появление 2 очков, В – появление четного числа очков. Несправедливо утверждение:

Для любых событий А,В,С не всегда справедлива формула:

Вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет 1,6 или 4:

Достоверное событие U – весь квадрат. Круги — другие события. Наибольшую вероятность имеет событие:

Студент появляется в аудитории равновероятно в любой момент времени от 8.00 до 8.10 , а преподаватель соответственно от 8.00 до 8.05 . Вероятность того, что студент пришел раньше преподавателя:

Понятие геометрической вероятности неприменимо:

а) Если пространство элементарных событий одномерно

б) При вычислении вероятности обнаружения молекулы в заданном объеме

в) При вычислении вероятности числа появлений события при независимых испытаниях

г) При вычислении вероятности выигрыша в рулетку

в) При вычислении вероятности числа появлений события при независимых испытаниях

На квадрате задана геометрическая вероятность и обозначены события А и В. Вы не согласны с утверждением:

Условная вероятность Р(А/В) события А при условии В определена, если:

а) События А и В совместны

Студент появляется в аудитории равновероятно в любой момент времени от 7.55 до 8.05, а преподаватель соответственно от 8.00 до 8.05. Студент пришел раньше преподавателя. Вероятность того, что студент пришел до 8.00:

События А и В независимы, если:

События А и В – независимы. Следовательно:

б) А влечет за собой В, а В влечет за собой А

На квадрате задана геометрическая вероятность и обозначены события А и В. Вероятность Р(А/В):

Формула полной вероятности Р(А) = Р(A/B) * P(B) + P(A/C) * P(C) применима, если:

Независимыми и несовместными одновременно:

а) являются достоверное и невозможное события

б) являются какие либо два события, если у них нет общих элементов

в) какие либо два события не могут быть ни при каких условиях

в) какие либо два события не могут быть ни при каких условиях

Студент появляется в аудитории равновероятно в любой момент времени от 7.55 до 8.05, а преподаватель соответственно от 8.00 до 8.05. Вероятность того, что студент пришел раньше преподавателя:

График, который может быть графиком плотности распределения:

а)

б)

в)

г)

в)

Необязательное свойство для функции распределения:

в) F(X) не убывает с ростом х

График, который не может быть графиком функции распределения:

а)

б)

в)

г)

в)

Случайная величина х распределена по закону Пуассона с параметром а = 1, случайная величина y распределена закону Пуассона с параметром b = 2, х и y – независимы. Значения М(х+y) и D(x+y):

По закону Бернулли может быть распределена случайная величина:

а) Число молекул в выбранном объеме

б) Число попаданий в цель при 10 выстрелах, если нет возможности узнать результат после каждого выстрела

в) Число картофелин в мешке весом 50 кг

г) Число звонков, поступающих в справочную службу в течение суток

б) Число попаданий в цель при 10 выстрелах, если нет возможности узнать результат после каждого выстрела

По закону Пуассона может быть распределена случайная величина:

а) Число молекул в выбранном объеме

б) Число попаданий в цель при 10 выстрелах, если нет возможности узнать результат после каждого выстрела

в) Число картофелин в мешке весом 50 кг

а) Число молекул в выбранном объеме

Случайная величина х распределена равномерно в интервале от -1 до 1, случайная величина y распределена равномерно в интервале от 2 до 4, х и y – независимы. Значения М(х+y) и D(x+y):

Случайная величина х имеет Мх = 0 , Dх = 2; случайная величина y имеет My = 2, Dy = 3; х и y – независимы. Значения Мz и Dz, если z = 2x + 3y:

Равномерно может быть распределена случайная величина:

а) Угол поворота стрелки рулетки, отсчитанный от некоторого фиксированного положения

в) Число картофелин в мешке весом 50 кг

г) Число очков на верхней грани брошенной кости

а) Угол поворота стрелки рулетки, отсчитанный от некоторого фиксированного положения

Один из аргументов k-мерной функции распределения равен бесконечности. Следовательно, такая функция:

б) Превращается в (k-1)-мерную

б) Превращается в (k-1)-мерную

Для многомерной функции распределения не обязательно условие:

в) Не убывает с ростом любого из аргументов

Однозначно независимы случайные величины х и y, если:

а) Ковариационная матрица диагональна

б) Коэффициент корреляции равен 0

Одинаково распределенные величины, среднее арифметическое последовательности которых, по теореме Чебышева, сходится по вероятности к их математическому ожиданию, обязательно обладают свойством:

б) Должны быть нормально распределены

в) Слагаемые должны вносить равномерный вклад в сумму

Отношение числа выпадений герба к числу бросаний отклонится от 0.5 не более чем на 0.05, гарантируется при числе бросаний:

г) Никогда нельзя гарантировать

г) Никогда нельзя гарантировать

Сумма большого числа случайных величин распределена асимптотически нормально, если случайные величины:

в) Слагаемые вносят равномерный вклад в сумму

Производится серия из n опытов, в каждом из которых может произойти событие А. Вероятность того, что число появлений события А будет лежать в заданном интервале можно найти по теореме Муавра-Лапласа при условии:

а) Число n велико, вероятность события А в каждом опыте мала

б) Число n велико, вероятность события А в каждом опыте одинакова

в) Число n велико, вероятность события А в каждом опыте одинакова, результаты опытов независимы

г) Число n велико, вероятность события А в каждом опыте мала и одинакова, результаты опытов независимы

в) Число n велико, вероятность события А в каждом опыте одинакова, результаты опытов независимы

Дополнить определение (слово в именительном падеже множественного числа):

Комбинаторная схема, составленная из n элементов по m в каждом, в которой играет роль порядок и состав элементов называется…

Читайте также:  Как начисляют очки в варфейс

Дополнить определение (слово в именительном падеже множественного числа):

Комбинаторная схема, составленная из n элементов по m в каждом, содержащая все n элементов называется…

Дополнить определение (слово в именительном падеже множественного числа):

Комбинаторная схема, составленная из n элементов по m в каждом, в которой играет роль только состав элементов, называется…

Вставить пропущенное слово (в именительном падеже):

Событие называется …, если в результате испытания оно может появиться или не появиться

Дополнить определение (в именительном падеже):

Если все значения случайной величины можно пронумеровать, то случайная величина …

Вставить пропущенное слово:

… – это математическое ожидание квадрата центрированной силы случайной величины

Установить правильную последовательность вычисления основных характеристик дискретной случайной величины:

Среднее квадратическое отклонение

3.Среднее квадратическое отклонение

Установить правильную последовательность вычисления среднего квадратического отклонения при известном ряде распределения ДСВ:

Найти среднее квадратическое отклонение

Найти математическое ожидание

1.Найти математическое ожидание

3.Найти среднее квадратическое отклонение

Установить правильную последовательность алгоритма решения задачи:

В пирамиде 10 винтовок: 4 с прицелом, вероятность попадания из винтовки с прицелом равна 0,8. Без прицела 0,6. Из наудачу взятой винтовки сделан выстрел, в результате цель была поражена. Найти вероятность того, что была взята винтовка без оптического прицела.

Применить формулу полной вероятности

Найти вероятность каждой гипотезы

1.Найти вероятность каждой гипотезы

2.Применить формулу полной вероятности

3.Применить формулу Байеса

Установить правильную последовательность нахождения среднего квадратического отклонения ДСВ при известной функции распределения F(x):

Найти математическое ожидание ДСВ

Найти среднее квадратическое отклонение ДСВ

Найти плотность распределения ДСВ

1.Найти плотность распределения ДСВ

2.Найти математическое ожидание ДСВ

4.Найти среднее квадратическое отклонение ДСВ

Установить правильную последовательность изменения вероятности выпадения гербов во всех испытаниях подбрасывания монеты:

Установить правильную последовательность алгоритма решения задачи:

В первом ящике 20 шаров. Из них 5 белых. Во втором 10 шаров, из них 4 белых. Из первого во второй ящик перекладывается 2 шара, затем берут шар из второй. Найти вероятность взять белый шар.

Вычислить вероятность с помощью формулы полной вероятности

Найти соответствующие условные вероятности

Найти вероятности гипотез P()

1.Найти вероятности гипотез P()

2.Найти соответствующие условные вероятности

3.Вычислить вероятность с помощью формулы полной вероятности

Установить соответствие между видами событий и их определениями:

1 – это события, которые не исключают появление другого события в одном и том же испытании

2 – это событие, которое в результате испытания может появиться или не появиться

3 – это события, которые одинаково возможны в одном и том же испытании

Установить соответствие между наименованиями формул и вариантами их применения при решении задач:

1.Локальная формула Лапласа

1.Применяется, если требуется найти вероятность, что при n опытах событие появляется не менее k1 раз и не более k2 раз

2.Ассимптотическая формула Пуассона

2.Применяется при большом количестве испытаний и очень малой вероятности (p 0,01)

Установить соответствие между основными комбинаторными схемами без повторений и их формулами:

1.

2.

3.

Установить соответствие между основными комбинаторными схемами с повторениями и их формулами:

1.перестановки с повторением

1.

2.размещения с повторением

2.

3.

Установить соответствие между характеристиками случайной величины и их обозначениями:

Установить соответствие между задачами и комбинаторными схемами их решения:

1. В совет директоров предприятия избраны 5 человек. Из них нужно выбрать генерального директора и двух замов. Сколькими способами это можно сделать, если по одному человеку на место?

2. Сколькими способами можно расставить 5 разных книг на полке?

3. В лотерее спортлото можно зачеркнуть 6 чисел из 49. Сколькими способами это можно сделать?

источник

Вероятностью события А называют отношение m на n и определяется по формуле:

m
— числа всех благоприятных комбинаций этому событию исходов эксперимента;
n — общее число всех возможных исходов эксперимента.
Вероятность события А обозначается Р(А) .
Основные понятия классической теории вероятности и свойство вероятности рассмотрено здесь.
Рассмотрим примеры, основанные на классическом определение вероятностей.

В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Пример 2
В урне 2 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
Решение

Пример 3
Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:
А1 — появление нечетного числа очков;
A2 — появление не менее 3 очков;
A3 — появление не более 5 очков.
Решение

  1. Возможные варианты выпадения очков при одном бросании кости: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нечётные — 1, 3, 5. Тогда вероятность равна:

2. Появление не менее 3 очков — это очки: 3, 4, 5, 6, следовательно

3. Появление не более 5 очков — это очки: 1, 2, 3, 4, 5, тогда имеем

Пример 4
Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появился «герб».
Решение
Найдем все комбинации n подбрасывания монеты два раза, имеем:

«решка» — «герб»
«герб» — «решка»
«решка» — «решка»
«герб» — «герб»

Составим все комбинации события m А — «при бросании монеты два раза хотя бы один раз появился герб»

«решка» — «герб»
«герб» — «решка»
«герб» — «герб»

Пример 5
Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

  1. А1 — сумма выпавших очков равна 9;

2. A2 — произведение выпавших очков равно 6;
3. A3 — сумма выпавших очков больше 4.
Решение
Составим всевозможные комбинаций, при которых сумма очков двух игральных костей равна 9

Первая кость Вторая кость
Три Шесть
Шесть Три
Пять Четыре
Четыре Пять

Итак, m=4
Общее количество комбинаций равно

2. Составим таблицу, при котором произведение выпавших очков равно 6;

Первая кость Вторая кость
Три Два
Два Три
Шесть Один
Один Шесть

m=4, n=6·6=36
$p() = \frac= \frac = \frac$

3. Чтобы найти сумму выпавших очков больше 4, сначала найдём сумму очков, которая меньше 4, для этого составим таблицу

Первая кость Вторая кость
Один Два
Два Один
Один Один
Два Два
Один Три
Три Один

m=36-6=30, n=6·6=36
Найдем событие A3 — сумма выпавших очков больше 4

Пример 6
В коробке 6 одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
Решение
Событие «номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке» может произойти в одном случае, то есть m=1.
По формуле комбинаторики перестановка без повторений найдем число комбинаций извлечения шести кубиков

$n = = 6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720$

Вероятность извлеченных кубиков в возрастающем порядке равна:

Пример 7
Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры
Решение
А — «абонент набрал нужные три цифры»
m — число благоприятных комбинаций событию А — одно;
n — число комбинаций, которыми можно набрать три цифры и вычисляется по формуле размещение без повторения, тогда

Пример 8
В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
Решение
Событие А — «перфораторщица наудачу извлекает две карты с номерами 101 и 120».
Общее число комбинаций выбора 2-ух карт из 20 равно:
$C_^2 = \frac>> = \frac>> = 190$
Количество благоприятных комбинаций событию А — одно, получаем
$P\left( A \right) = \frac^2>> = \frac>$

Пример 9
В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Решение
А — «хотя бы одна из взятых деталей окрашена»
Событие A может произойти в трёх случаях:
«одна деталь окрашена», «две детали окрашены», «три детали окрашены»
Противоположное событие $\overline A $ событию A, это «все три детали не окрашены», получаем вероятность

А противоположное событие исходя из условия задачи находится по формуле

Общее число исходов извлечённых из ящика четыре окрашенных деталей из десяти равно
$m = $C_^4$
Число извлечённых из ящика трех деталей из десяти
$m = $C_^4$

Пример 10
В урне 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение
Пусть событие A — вероятность того, что оба шара будут белыми.
Найдем общее число случаев по формуле сочетание без повторений

Количество благоприятных случаев выбора двух белых шаров из трёх равно

Получаем решение, воспользовавшись общей формулой теории вероятностей

Пример 11
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение
А — «три извлеченные детали сборщиком окажутся окрашенными».
Здесь,
m— количество комбинаций извлечения трех окрашенных деталей из десяти;
n— общее число извлечения трех деталей из пятнадцати.

Пример 12
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
Решение
А — «студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса»

Пример 13
В коробке 5 белых и 7 красных шара. Из нее одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Решение
$n = C_^2$
$m = C_5^1 \cdot C_7^1$
Через формулу комбинаторики сочетание без повторений, найдём вероятность вынуть шары разных цветов (один красный и один белый шар), равна

Пример 14
На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода
Решение
А — «из пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода».
Число способов выбрать три кинескопа Львовского завода из десяти кинескопов Львовского завода равно $C_^3$
Число способов выбрать два кинескопа, которые не изготовлены Львовским заводом из пяти равно $C_^2$
Таким образом
$m = C_^3 \cdot C_5^2$
Число комбинаций, которыми можно выбрать пять кинескопов из пятнадцати
$n=C_^5$
Следовательно,

Пример 15
Устройство состоит из пяти элементов, два из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение
$P\left( A \right) = \frac>> = \frac> = 0,3$

Пример 16
В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:
1) одно окрашенное изделие;
2) два окрашенных изделия;
3) хотя бы одно окрашенное изделие.
Решение
1) А — «среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие»
Число способов выбрать одно изделие из трех окрашенных изделий $C_^1$
Неокрашенное изделие можно выбрать $C_^1$
тогда m равно
$m = $C_^1 \cdot C_^1$
Общее число способов, которыми можно выбрать два изделия из пяти равно
$n=C_^2$
Имеем,

2) В — «два извлеченных изделия окрашены»
Число комбинаций извлечения двух окрашенных изделий $m = $C_^2$
Общее число комбинаций извлечения два изделия из пяти $n=C_^2$

3) С — «извлечено хотя бы одно окрашенное изделие»
Число благоприятных способов извлечения двух изделий нет двух неокрашенных соответствует единице. Тогда:

источник