Меню Рубрики

Теория вероятности кости сумма очков

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac

. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac=\frac; \quad P(AB)=\frac=\frac=\frac;\\ P(B|A)=\frac

=\frac=\frac. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один. » удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного. «. В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

источник

Тип урока: урок изучения нового материала.

Учащиеся должны знать:

  • определение вероятности случайного события;
  • уметь решать задачи на нахождение вероятности случайного события;
  • уметь применять теоретические знания на практике.

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями вероятности события.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

  • наглядные,
  • практические,
  • по мыслительной деятельности: индуктивный,
  • по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный,
  • по степени самостоятельности: самостоятельная работа,
  • стимулирующие: поощрения,
  • виды контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

План урока

  • Устные упражнения
  • Изучение нового материала
  • Решение заданий.
  • Самостоятельная работа.
  • Подведение итогов урока.
  • Комментирование домашнего задания.
  • Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (самостоятельная работа)

    Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

    Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

    Определить значимость изучаемого материала, как в данной теме, так и во все курсе.

    Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь.

    Читайте также:  Может ли быть привыкание к очкам

    2. Какое определение дает основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров?

    Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях.

    3. Какое классическое определение вероятности дают авторы школьных учебников?

    Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.

    Вывод: в математике вероятность измеряется числом.

    Сегодня мы с вами продолжим рассматривать математическую модель “игральная кость”.

    Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием.

    Испытание – бросание игральной кости.

    Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков.

    Выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность (игральная кость правильная).

    1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало 4 очка?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует одно событие: 4. Поэтому т = 1. События равновозможные, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому Р(А) = т/п = 1/6 = 0,17.

    2. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует 4 события: 1, 2, 3, 4. Поэтому т = 4. Поэтому Р(А) = т/п = 4/6 = 0,67.

    3. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует 3 события: 1, 2, 3. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

    4. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует 3 события: 1,3,5. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

    Сегодня рассмотрим задачи, когда в случайном эксперименте используются две игральные кости или выполняются два, три броска.

    1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

    Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

    Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

    1 2 3 4 5 6
    1 2 3 4 5 6 7
    2 3 4 5 6 7 8
    3 4 5 6 7 8 9
    4 5 6 7 8 9 10
    5 6 7 8 9 10 11
    6 7 8 9 10 11 12

    Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6.

    Таких ячеек 5. Значит, событию А = благоприятствует 5 исходов. Следовательно, т = 5. Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14.

    2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

    Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.

    Событию А = благоприятствуют 2 исходов. Следовательно, т = 2.

    3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.

    Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.

    Событию А = благоприятствуют 3 исхода.

    Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.

    4. Люба дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

    Решение Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет при первом броске, второе – при втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

    Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска.

    Всего событий, при которых сумма очков 9 будет п = 4. Событию А = благоприятствует 2 исхода. Следовательно, т = 2.

    5. Света дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.

    Равновозможных исходов – 5.

    Благоприятствующих исходов – 2.

    Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

    6. Оля дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка.

    Равновозможных исходов – 4.

    Благоприятствующих исходов – 1.

    Вероятность события р = 1/4 = 0,25.

    7. Наташа и Витя играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу.

    Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.

    Равновозможных исходов – 5.

    Благоприятствующих исходов – 2.

    Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

    8. Таня и Наташа играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня проиграла.

    Равновозможных исходов – 5.

    Благоприятствующих исходов – 2.

    Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

    9. Коля и Лена играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Коля, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Лена не выиграет.

    У Лены равновозможных исходов – 6.

    Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 (при1 и при 2 и при 3).

    Вероятность события р = 3/6 = 0,5.

    10. Маша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа.

    У Маши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.

    Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3 · 3 = 27.

    Вероятность события р = 27/216 = 1/8 = 0,125.

    11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

    Первая

    Вторая Третья Сумма очков

    Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.

    Благоприятствующих исходов – 6.

    Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28. Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.

    Вариант 1.

    1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков? (Ответ:0,5)
    2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,11)
    3. Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко. (Ответ:0,5)
    4. Катя и Ира играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Ира проиграла. (Ответ:0,5)
    5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,05)

    Вариант 2.

    1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков? (Ответ:0,5)
    2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,08)
    3. Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. (Ответ:0,25)
    4. Маша и Даша играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что Маша выиграла. (Ответ:0,5)
    5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 17 очков. Результат округлите
    1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. В сумме выпало 12 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очкаов Результат округлите до сотых.
    2. Катя трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут одинаковые числа?

    Что нужно знать для нахождения вероятности случайного события?

    Для вычисления классической вероятности нужно знать все возможные исходы события и благоприятные исходы.

    Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.

    Для чего в школе изучаем теорию вероятности?

    Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей.

    Литература

    1. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / [Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.]. – 16-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 464 с.
    2. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство “Экзамен”, 2012. – 543с.
    3. Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь /Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦШМО, 2012. – 48 с.

    источник

    Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

    Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

    Достаточно просто обстоит дело с одной игральной костью. Вероятность игральной кости определяется по формуле: P=m/n, где m — это число благоприятствующих событию исходов, а n — число всех элементарных равновозможных исходов эксперимента с подбрасыванием кости или кубика.

    Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

    Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

    Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

    Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

    Читайте также:  Офисные очки цена на них

    При решении задач с бросанием 2-х игральных костей, очень удобно пользоваться специальной таблицей выпадения очков. На ней по горизонтали откладывается число очков, выпавших на первой кости, а по вертикали — число очков, которое выпало на второй кости. Заготовка имеет такой вид:

    Но возникает вопрос, что же будет в пустых ячейках таблицы? Это зависит от задачи, которую потребуется решить. Если в задаче речь идет о сумме очков, тогда туда записывается сумма, а если про разность — значит записывается разность и так далее.

    Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

    Для начала необходимо разобраться какое будет общее число исходов эксперимента. Все было очевидно при бросании одной кости 6 граней кубика — 6 исходов эксперимента. Но когда уже две кости, то возможные исходы можно представить как упорядоченные пары чисел вида (x, y), где х показывает сколько на первой кости выпало очков (от 1 до 6), а у — сколько выпало очков на второй кости (от 1 до 6). Всего таких числовых пар будет: n=6*6=36 (в таблице исходов им как раз соответствуют 36 ячеек).

    Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

    Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию » выпадет в сумме менее 5 очков». Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

    Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

    Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

    Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

    Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

    Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

    Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

    Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

    В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

    источник

    Вероятностью события А называют отношение m на n и определяется по формуле:

    m
    — числа всех благоприятных комбинаций этому событию исходов эксперимента;
    n — общее число всех возможных исходов эксперимента.
    Вероятность события А обозначается Р(А) .
    Основные понятия классической теории вероятности и свойство вероятности рассмотрено здесь.
    Рассмотрим примеры, основанные на классическом определение вероятностей.

    В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

    Пример 2
    В урне 2 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
    Решение

    Пример 3
    Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:
    А1 — появление нечетного числа очков;
    A2 — появление не менее 3 очков;
    A3 — появление не более 5 очков.
    Решение

    1. Возможные варианты выпадения очков при одном бросании кости: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нечётные — 1, 3, 5. Тогда вероятность равна:

    2. Появление не менее 3 очков — это очки: 3, 4, 5, 6, следовательно

    3. Появление не более 5 очков — это очки: 1, 2, 3, 4, 5, тогда имеем

    Пример 4
    Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появился «герб».
    Решение
    Найдем все комбинации n подбрасывания монеты два раза, имеем:

    «решка» — «герб»
    «герб» — «решка»
    «решка» — «решка»
    «герб» — «герб»

    Составим все комбинации события m А — «при бросании монеты два раза хотя бы один раз появился герб»

    «решка» — «герб»
    «герб» — «решка»
    «герб» — «герб»

    Пример 5
    Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

    1. А1 — сумма выпавших очков равна 9;

    2. A2 — произведение выпавших очков равно 6;
    3. A3 — сумма выпавших очков больше 4.
    Решение
    Составим всевозможные комбинаций, при которых сумма очков двух игральных костей равна 9

    Первая кость Вторая кость
    Три Шесть
    Шесть Три
    Пять Четыре
    Четыре Пять

    Итак, m=4
    Общее количество комбинаций равно

    2. Составим таблицу, при котором произведение выпавших очков равно 6;

    Первая кость Вторая кость
    Три Два
    Два Три
    Шесть Один
    Один Шесть

    m=4, n=6·6=36
    $p() = \frac= \frac = \frac$

    3. Чтобы найти сумму выпавших очков больше 4, сначала найдём сумму очков, которая меньше 4, для этого составим таблицу

    Первая кость Вторая кость
    Один Два
    Два Один
    Один Один
    Два Два
    Один Три
    Три Один

    m=36-6=30, n=6·6=36
    Найдем событие A3 — сумма выпавших очков больше 4

    Пример 6
    В коробке 6 одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
    Решение
    Событие «номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке» может произойти в одном случае, то есть m=1.
    По формуле комбинаторики перестановка без повторений найдем число комбинаций извлечения шести кубиков

    $n = = 6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720$

    Вероятность извлеченных кубиков в возрастающем порядке равна:

    Пример 7
    Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры
    Решение
    А — «абонент набрал нужные три цифры»
    m — число благоприятных комбинаций событию А — одно;
    n — число комбинаций, которыми можно набрать три цифры и вычисляется по формуле размещение без повторения, тогда

    Пример 8
    В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
    Решение
    Событие А — «перфораторщица наудачу извлекает две карты с номерами 101 и 120».
    Общее число комбинаций выбора 2-ух карт из 20 равно:
    $C_^2 = \frac>> = \frac>> = 190$
    Количество благоприятных комбинаций событию А — одно, получаем
    $P\left( A \right) = \frac^2>> = \frac>$

    Пример 9
    В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
    Решение
    А — «хотя бы одна из взятых деталей окрашена»
    Событие A может произойти в трёх случаях:
    «одна деталь окрашена», «две детали окрашены», «три детали окрашены»
    Противоположное событие $\overline A $ событию A, это «все три детали не окрашены», получаем вероятность

    А противоположное событие исходя из условия задачи находится по формуле

    Общее число исходов извлечённых из ящика четыре окрашенных деталей из десяти равно
    $m = $C_^4$
    Число извлечённых из ящика трех деталей из десяти
    $m = $C_^4$

    Пример 10
    В урне 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
    Решение
    Пусть событие A — вероятность того, что оба шара будут белыми.
    Найдем общее число случаев по формуле сочетание без повторений

    Количество благоприятных случаев выбора двух белых шаров из трёх равно

    Получаем решение, воспользовавшись общей формулой теории вероятностей

    Пример 11
    В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
    Решение
    А — «три извлеченные детали сборщиком окажутся окрашенными».
    Здесь,
    m— количество комбинаций извлечения трех окрашенных деталей из десяти;
    n— общее число извлечения трех деталей из пятнадцати.

    Пример 12
    Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
    Решение
    А — «студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса»

    Пример 13
    В коробке 5 белых и 7 красных шара. Из нее одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
    Решение
    $n = C_^2$
    $m = C_5^1 \cdot C_7^1$
    Через формулу комбинаторики сочетание без повторений, найдём вероятность вынуть шары разных цветов (один красный и один белый шар), равна

    Пример 14
    На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода
    Решение
    А — «из пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода».
    Число способов выбрать три кинескопа Львовского завода из десяти кинескопов Львовского завода равно $C_^3$
    Число способов выбрать два кинескопа, которые не изготовлены Львовским заводом из пяти равно $C_^2$
    Таким образом
    $m = C_^3 \cdot C_5^2$
    Число комбинаций, которыми можно выбрать пять кинескопов из пятнадцати
    $n=C_^5$
    Следовательно,

    Пример 15
    Устройство состоит из пяти элементов, два из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

    Решение
    $P\left( A \right) = \frac>> = \frac> = 0,3$

    Пример 16
    В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:
    1) одно окрашенное изделие;
    2) два окрашенных изделия;
    3) хотя бы одно окрашенное изделие.
    Решение
    1) А — «среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие»
    Число способов выбрать одно изделие из трех окрашенных изделий $C_^1$
    Неокрашенное изделие можно выбрать $C_^1$
    тогда m равно
    $m = $C_^1 \cdot C_^1$
    Общее число способов, которыми можно выбрать два изделия из пяти равно
    $n=C_^2$
    Имеем,

    2) В — «два извлеченных изделия окрашены»
    Число комбинаций извлечения двух окрашенных изделий $m = $C_^2$
    Общее число комбинаций извлечения два изделия из пяти $n=C_^2$

    3) С — «извлечено хотя бы одно окрашенное изделие»
    Число благоприятных способов извлечения двух изделий нет двух неокрашенных соответствует единице. Тогда:

    источник

    При классическом определении вероятность события определяется равенством

    Читайте также:  Как начисляют очки в варфейс

    ,

    где m – число элементарных исходов испытаний, соответствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытаний. Предполагается, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны.

    Относительная частота события А определяется равенством

    ,

    где m – число испытаний, в которых события А наступило; n – общее число произведенных испытаний. При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

    Пример 1.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, при чем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

    Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогично шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6∙6 = 36.

    Благоприятствующими исходами интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков – четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым число очков, выпавших на «второй» кости; далее сумма их очков:

    Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов:

    .

    Задача 1.1 Брошено две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

    Задача 1.2. Брошено две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем, б) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

    Задача 1.3. Брошено две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение — четырем.

    Задача 1.4. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

    Далее рассмотрим пример, когда количество объектов увеличивается и, следовательно, возрастает как общее число элементарных исходов, так и благоприятствующих исходов и их число будет уже определяться формулами сочетаний и размещений.

    Пример 1.2 В ящике содержится 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

    Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов (сочетаний), которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. С 6 10.

    .

    а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести деталей есть деталь №1 и, следовательно, остальные 5 деталей имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать 5 деталей из оставшихся 9, т.е. С 5 9.

    .

    Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

    б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных шести деталей есть деталь №1 и деталь №2, следовательно, остальные 4 деталей имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно отобрать 4 деталей из оставшихся 8, т.е. С 4 8.

    .

    .

    Пример 1.3 . Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

    Решение. Общее число возможных элементарных трехэлементных комбинаций из 10 цифр, которые отличаются как по составу, так и по порядку следования цифр, равно числу размещений из 10 цифр по 3, т.е. А 3 10.

    .

    Благоприятствующий исход – один .

    .

    Пример 1.4. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно k стандартных деталей.

    Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, т.е. С m N – числу сочетаний из N по m .

    Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди m деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей можно взять из n стандартных деталей С k n способами; при этом остальные m – k деталей должны быть нестандартными: взять же m – k нестандартных деталей из N – n нестандартных деталей можно взять С m — k N — n способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С k n С m — k N — n .

    Искомая вероятность равна

    .

    Задача 1.5. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

    Пусть отрезок l составляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L , то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

    Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения относительно G , ни от формы g , то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

    Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v , которая составляет часть фигуры V :

    .

    Пример 1.5 На отрезок L длины 20 см. помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок попадет также и на меньший отрезок.

    Решение : Поскольку, вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна его длине и не зависит от его расположения, воспользуемся приведенным выше соотношением и найдем:

    Пример 1.6 В круг радиуса R помещен малый круг радиуса r . Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг попадет также и в малый круг.

    Решение: поскольку, вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения, воспользуемся приведенным выше соотношением и найдем:

    .

    Задача 1.6. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. Предполагается, что вероятности попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от её расположения относительно круга.

    Задача 1.7. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

    Теоремы сложения и умножения вероятностей

    С ложение вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

    Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

    Р(А1 + А2 +…+ Ан) = Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Ан).

    Сложение вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

    Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

    Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

    Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

    Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

    Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

    Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, при чем вероятности каждого последующего вычисляется в предположении, что все предыдущие события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились:

    где РА1А2…Ан-1(Ан) – вероятность события Ан, вычисленная в предположении, что события А1А2…Ан-1 наступили.

    Пример 1.7. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).

    Решение. Требование хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В – один учебник в переплете, два без переплета, С – два учебника в переплете, один без переплета, Д – три учебника в переплете.

    Интересующее нас событие А (хотя бы один из трех взятых учебников в переплете) можно представить в суммы трех событий:

    По теореме сложения несовместных событий

    Найдем вероятности событий В, С и Д (см. решение примера 1.4.):

    Подставив эти вероятности в равенство (1), окончательно получим

    р(А) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

    Пример 1.8. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной выпавшей грани не появится 6 очков?

    Решение. Введем обозначения событий: А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков; Аi – на выпавшей грани i-ой кости (i = 1, 2, …n) не появится 6 очков.

    Интересующие нас событие А состоит в совмещение событий

    Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число, не равное шести, равна

    События Аi независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

    р(А) = р(А1А2…Аn) = р(А1)*р(А2)*…р(Аn) = (5/6)n.

    По условию (5/6)n 6,6. Таким образом искомое число игральных костей n ≥ 7.

    Пример 1.9. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятности, из которых 3 в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность, того что оба учебника окажутся в переплете.

    Решение. Введем обозначения событий: А – первый взятых учебник имеет переплет, В – второй учебник имеет переплет.

    Вероятность того, что первый учебник имеет переплет,

    Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятых учебник был в переплете, то есть условная вероятность события В равна:

    Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна

    Задача 1.8 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого охотника равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из охотников.

    Задача 1.9. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; с) во всех справочниках.

    Задача 1.10. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

    источник