Меню Рубрики

Задания на вероятность с суммой очков двух кубиков

Тип урока: урок изучения нового материала.

Учащиеся должны знать:

  • определение вероятности случайного события;
  • уметь решать задачи на нахождение вероятности случайного события;
  • уметь применять теоретические знания на практике.

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями вероятности события.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

  • наглядные,
  • практические,
  • по мыслительной деятельности: индуктивный,
  • по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный,
  • по степени самостоятельности: самостоятельная работа,
  • стимулирующие: поощрения,
  • виды контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

План урока

  • Устные упражнения
  • Изучение нового материала
  • Решение заданий.
  • Самостоятельная работа.
  • Подведение итогов урока.
  • Комментирование домашнего задания.
  • Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (самостоятельная работа)

    Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

    Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

    Определить значимость изучаемого материала, как в данной теме, так и во все курсе.

    Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь.

    2. Какое определение дает основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров?

    Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях.

    3. Какое классическое определение вероятности дают авторы школьных учебников?

    Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.

    Вывод: в математике вероятность измеряется числом.

    Сегодня мы с вами продолжим рассматривать математическую модель “игральная кость”.

    Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием.

    Испытание – бросание игральной кости.

    Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков.

    Выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность (игральная кость правильная).

    1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало 4 очка?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует одно событие: 4. Поэтому т = 1. События равновозможные, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому Р(А) = т/п = 1/6 = 0,17.

    2. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует 4 события: 1, 2, 3, 4. Поэтому т = 4. Поэтому Р(А) = т/п = 4/6 = 0,67.

    3. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует 3 события: 1, 2, 3. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

    4. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

    Решение. Случайный эксперимент – бросание кубика. Событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А = благоприятствует 3 события: 1,3,5. Поэтому т = 3. Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

    Сегодня рассмотрим задачи, когда в случайном эксперименте используются две игральные кости или выполняются два, три броска.

    1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

    Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

    Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

    1 2 3 4 5 6
    1 2 3 4 5 6 7
    2 3 4 5 6 7 8
    3 4 5 6 7 8 9
    4 5 6 7 8 9 10
    5 6 7 8 9 10 11
    6 7 8 9 10 11 12

    Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6.

    Таких ячеек 5. Значит, событию А = благоприятствует 5 исходов. Следовательно, т = 5. Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14.

    2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

    Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.

    Событию А = благоприятствуют 2 исходов. Следовательно, т = 2.

    3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.

    Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий п = 36.

    Событию А = благоприятствуют 3 исхода.

    Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.

    4. Люба дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

    Решение Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет при первом броске, второе – при втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

    Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска.

    Всего событий, при которых сумма очков 9 будет п = 4. Событию А = благоприятствует 2 исхода. Следовательно, т = 2.

    5. Света дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.

    Равновозможных исходов – 5.

    Благоприятствующих исходов – 2.

    Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

    6. Оля дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка.

    Равновозможных исходов – 4.

    Благоприятствующих исходов – 1.

    Вероятность события р = 1/4 = 0,25.

    7. Наташа и Витя играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу.

    Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.

    Равновозможных исходов – 5.

    Благоприятствующих исходов – 2.

    Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

    8. Таня и Наташа играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня проиграла.

    Равновозможных исходов – 5.

    Благоприятствующих исходов – 2.

    Вероятность события р = 2/5 = 0,4.

    9. Коля и Лена играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Коля, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Лена не выиграет.

    У Лены равновозможных исходов – 6.

    Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 (при1 и при 2 и при 3).

    Вероятность события р = 3/6 = 0,5.

    10. Маша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа.

    У Маши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.

    Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3 · 3 = 27.

    Вероятность события р = 27/216 = 1/8 = 0,125.

    11. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

    Первая

    Вторая Третья Сумма очков

    Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216.

    Благоприятствующих исходов – 6.

    Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28. Следовательно, т = 3. Поэтому, Р (А) = 3/36 = 0,08.

    Вариант 1.

    1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков? (Ответ:0,5)
    2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,11)
    3. Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко. (Ответ:0,5)
    4. Катя и Ира играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Ира проиграла. (Ответ:0,5)
    5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,05)

    Вариант 2.

    1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков? (Ответ:0,5)
    2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,08)
    3. Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. (Ответ:0,25)
    4. Маша и Даша играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что Маша выиграла. (Ответ:0,5)
    5. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 17 очков. Результат округлите
    1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. В сумме выпало 12 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очкаов Результат округлите до сотых.
    2. Катя трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут одинаковые числа?

    Что нужно знать для нахождения вероятности случайного события?

    Для вычисления классической вероятности нужно знать все возможные исходы события и благоприятные исходы.

    Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.

    Для чего в школе изучаем теорию вероятности?

    Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей.

    Литература

    1. Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень / [Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.]. – 16-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 464 с.
    2. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство “Экзамен”, 2012. – 543с.
    3. Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь /Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦШМО, 2012. – 48 с.

    источник

    Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.

    Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

    Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

    Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

    С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

    Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

    Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

    Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

    Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

    Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

    Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

    А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?

    Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

    Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

    Читайте также:  Как вставить очко в очках

    Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

    Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

    Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

    Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

    Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

    Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

    Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

    Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

    Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

    Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

    Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

    Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

    Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

    В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

    Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

    Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

    Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

    Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

    Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

    Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

    Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

    Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

    Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
    А = Сумма числа очков четная
    В = На первой кости выпало не более 4 очков
    АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
    Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac

    . $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac=\frac; \quad P(AB)=\frac=\frac=\frac;\\ P(B|A)=\frac

    =\frac=\frac. $$ Ответы совпали.

    Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

    В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

    Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

    Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

    Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

    Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

    Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один. » удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного. «. В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$

    Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
    Файл с таблицами для расчета вероятности.

    В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

    Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

    Еще по теории вероятностей:

    В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

    источник

    В задачах по теории вероятностей, которые представлены в ЕГЭ номером №4, кроме задач о выборе объектов из набора, встречаются задачи на подбрасывание монеты и о бросках кубика. Их сегодня мы и разберем.

    Задача 1. Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

    В таких задачах удобно выписать все возможные исходы, записывая их при помощи букв Р (решка) и О (орел). Так, исход ОР означает, что при первом броске выпал орел, а при втором – решка. В рассматриваемой задаче возможны 4 исхода: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию «решка выпадет ровно один раз» 2 исхода: РО и ОР. Искомая вероятность равна .

    Задача 2. Симметричную монету бросают трижды, Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

    Всего возможны 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятствуют событию «орёл выпадет ровно два раза» 3 исхода: РОО, ОРО, ООР. Искомая вероятность равна .

    Задача 3. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.

    Эта задача аналогична предыдущей. Пусть каждый раз выпадение решки означает выигрыш жребия «Изумрудом» (такое предположение не влияет на вычисление вероятностей). Тогда возможны 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятствуют событию «решка выпадет ровно один раз» 3 исхода: РОО,ОРО,ООР. Искомая вероятность равна .

    Задача 4. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход РОО (в первый раз выпадает решка, во второй и третий — орёл).

    Как и в предыдущих задачах, здесь имеется 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Вероятность наступления исхода РОО равна .

    Задача 5. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 8»?

    Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и втором броске. Тогда указанному событию благоприятствуют следующие исходы: 2 – 6, 3 – 5, 4 – 4, 5 – 3, 6 – 2. Их количество равно 5. Ответ: 5.

    Задача 6. Одновременно бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

    Исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на первой и второй игральной кости. Всего имеется 36 равновозможных исходов (на первой кости число от 1 до 6, на второй – также число от 1 до 6).

    Вообще, если бросают игральных костей (кубиков), то имеется равновозможных исходов. Столько же исходов получается, если один и тот же кубик бросают раз подряд.

    Событию «в сумме выпало 4» благоприятствуют следующие исходы: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Их количество равно 3. Искомая вероятность равна .

    Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться делением уголком. Таким образом, приблизительно равна 0,083…, округлив до сотых имеем 0,08.

    Задача 7. Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

    Исходом будем считать тройку чисел: очки, выпавшие на первой, второй и третьей игральной кости. Всего имеется равновозможных исходов. Событию «в сумме выпало 5» благоприятствуют следующие исходы: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Их количество равно 6. Искомая вероятность равна . Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться делением уголком. Приблизительно получаем 0,027…, округлив до сотых, имеем 0,03.

    После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram. Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

    Также рекомендую изучить “Задачи на вычисление” , “Площадь треугольника” и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

    Источник “Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей”. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

    источник

    Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

    Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

    Достаточно просто обстоит дело с одной игральной костью. Вероятность игральной кости определяется по формуле: P=m/n, где m — это число благоприятствующих событию исходов, а n — число всех элементарных равновозможных исходов эксперимента с подбрасыванием кости или кубика.

    Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

    Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

    Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

    Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

    При решении задач с бросанием 2-х игральных костей, очень удобно пользоваться специальной таблицей выпадения очков. На ней по горизонтали откладывается число очков, выпавших на первой кости, а по вертикали — число очков, которое выпало на второй кости. Заготовка имеет такой вид:

    Но возникает вопрос, что же будет в пустых ячейках таблицы? Это зависит от задачи, которую потребуется решить. Если в задаче речь идет о сумме очков, тогда туда записывается сумма, а если про разность — значит записывается разность и так далее.

    Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

    Для начала необходимо разобраться какое будет общее число исходов эксперимента. Все было очевидно при бросании одной кости 6 граней кубика — 6 исходов эксперимента. Но когда уже две кости, то возможные исходы можно представить как упорядоченные пары чисел вида (x, y), где х показывает сколько на первой кости выпало очков (от 1 до 6), а у — сколько выпало очков на второй кости (от 1 до 6). Всего таких числовых пар будет: n=6*6=36 (в таблице исходов им как раз соответствуют 36 ячеек).

    Читайте также:  Офисные очки цена на них

    Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

    Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию » выпадет в сумме менее 5 очков». Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

    Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

    Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

    Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

    Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

    Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

    Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

    Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

    В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

    источник

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 5 очков, равно 4: 2+3, 3+2, 4+1, 1+4. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков, равна

    Ответ : 0,11.

    Я считая вариантов не 4,а 6,так как 5 и 0 в сумме тоже дадут 5

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 6 очков, равно 10: 1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1, 4 + 1 + 1, 1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 3 + 1 + 2, 3 + 2 + 1, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1, 2 + 2 + 2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6 · 6 · 6 = 216. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков, равна

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков, равна

    Ответ : 0,08.

    Ваше решение: Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­ка иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Я думаю, что будет 4 исхода, так как вероятность что выпадет две пятёрки увеличина вдвое т.к. если бы на однок кости была бы пометочка, то можно было бы видеть, что иногда выпадает 5:5. (с точкой) или 5.:5. Поэтому думаю, что будет 4 варианта 4+6, 5+5, 5+5, 6+4

    Максим Ваше рассуждение ошибочно.

    Если на одной из костей была бы «пометочка», то вариант 5.:5. невозможен.

    Вариант «две пятерки» возможен только в одном случае, если на первом кубике выпадает пятерка и при этом на втором кубике тоже выпадает пятерка.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых.

    Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

    В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

    Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

    Ответ : 0,14.

    источник

    Для успешной сдачи ЕГЭ нужно знать, как решать задачи на вероятность. Эту тему проходят в школе уже в 8-9 классе. Но многие ученики приходят в тупик при решении этих задач. Для их решения нужно быть очень внимательным и грамотно работать с формулами.

    В этой статье разберем задачи по теории вероятностей по принципу от простого к сложному, научимся работать с формулой и разберем особенности решения отдельных типов задач.

    Вся наша жизнь состоит из случайных событий, которые могут либо произойти, либо нет. Например, вы сегодня идете на экзамен, по которому лучше остальных знаете один билет, достанется он именно вам или нет – случайность. Так как билетов всего 20, а вам нужно вытянуть всего 1, мы можем определить вероятность, с которой вам достанется желаемый билет. Эта вероятность будет составлять 1 шанс к 20 возможным, то есть 1 к 20 или 1/20 или 0,05.

    Формула для вычисления вероятности события выглядит следующим образом:где P – вероятность события;

    m — число вариантов, которые нас устраивают (число благоприятных исходов);

    n – общее количество вариантов (возможных исходов).

    Логично, что число благоприятных исходов всегда меньше, чем общее количество исходов, т.е. меньшее число мы делим на большее. Таким образом вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

    У нас есть пакет, в котором лежит 15 шариков, 9 из которых фиолетового цвета, а остальные белые. Какова вероятность вытащить из пакета один белый шарик?

    Решение. Итак, общее количество белых шариков 15 – 9 = 6 штук, следовательно количество благоприятных исходов нашего события – 6. Общее количество возможных исходов – 15. Подставляем в формулу и получаем:

    Таким образом, вероятность вытащить белый шарик равна 6/15.

    Задачи на вероятность нужно читать внимательно, чтобы не допускать досадных ошибок. Например, вот в такой задаче.

    В автомате, продающем, маленькие мячики есть мячи 5 цветов: 21 синих, 30 красных, 15 зеленых, 8 белых, а остальные желтые. Всего в автомате 90 мячиков. Какова вероятность, что Коле достанется мяч не синего цвета.

    Решение. Мы обращаем внимание на то, что Коле должен достаться мяч НЕ синего цвета, а любого другого. Многие ученики просто не замечают частицу НЕ и ищут вероятность выпадения именно синего мяча, и естественно допускаю ошибку. Внимательно читаем условия задачи.

    Итак, общее количество возможных вариантов – 90. Нам нужен любой мяч, кроме синего. Следовательно, количество вариантов, когда выпадет не синий мяч равно 90 – 21 = 69. Таким образом, вероятность того, что выпадет мячик любого цвета, кроме синего, равна:

    На конкурсе выступают 11 участников из Казани, 6 участников из Нижнего Новгорода, 3 участника из Москвы и 7 участников из Твери. Порядок выступления в конкурсе определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что последним будем выступать конкурсант из Нижнего Новгорода? Результат округлите до сотых.

    Решение. Итак, представим, что все конкурсанты подошли к барабану, где лежат номерки и тянут по одному номерку. Общее количество конкурсантов n = 11 + 6 + 3 + 7 = 27. Нас интересует, какова вероятность того, что один из конкурсантов из Нижнего Новгорода вытянет номерок с цифрой 27. Конкурсантов из Нижнего Новгорода всего 6, следовательно m = 6. Таким образом, вероятность будет равна:Как представить в виде десятичной дроби?

    Очень просто. Нужно разделить 6,0000 на 27 уголком. Тогда вы получите 0,222… или округляя до сотых 0,22.

    Этот тип задач отличается от предыдущих лишь тем, что в задаче предметы поименованы. А вычисления выполняются по той же формуле:

    Читайте также:  Средство для очищения линз очков

    Приведем пример такой задачи.

    В портфеле у Васи лежали учебники по алгебре, геометрии, химии, биологии и литературе. Вася не глядя вынимает один учебник, какова вероятность того, что он вытянул алгебру?

    Решение. Не смотря на то, что теперь предметы поименованы, принцип решения задачи остался прежним. Общее количество вариантов (т.е. учебников в портфеле) – 5. Нужный нам вариант (т.е. учебник по алгебре) – 1. Следовательно, вероятность нужного нам события равна:

    Задачи на вероятность с фиксированными элементами сводятся к стандартным задачам на вероятность, но из элементов m и n нужно вычесть 1.

    Давайте разберемся на примере.

    Задача 8. В соревнованиях по борьбе участвуют 73 участника. Из них 25 участников из Москвы, в том числе Б. Егоров. На пары участники разбиваются с помощью жеребьевки. Какова вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы? Результат округлите до сотых.

    Решение. В этой задаче есть фиксированный элемент – Б. Егоров. Это фиксированный элемент мы должны вычесть из элементов m и n.

    Итак, общее количество участников – 73. Но Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, его мы исключаем из общего количества и получаем n = 72. Нас интересуют только участники из Москвы, их 25. Но опять же Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, количество устраивающих нас вариантов m = 24. А теперь считаем по нашей формуле:Таким образом, вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы равна 0,33.

    Еще раз обратим внимание. Если в задаче есть фиксированный элемент, то мы вычитаем единицу из m и n, а дальше решаем задачу по стандартной формуле нахождения вероятности.

    Таблицы полезны при решении задач, где речь идет о двух игральных кубиках. Например.

    Петя подбросил два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет не менее 9 очков.

    Решение. Вот в таких задачах удобнее всего построить таблицу. По горизонтали мы размещаем очки, которые могут выпасть на первом кубике, т.е. числа от 1 до 6. А по вертикали мы размещаем числа, которые могут выпасть на втором кубике, т.е. также числа от 1 до 6. Начертим таблицу:

    Далее заполняем таблицу. Для этого мы вписываем сумму чисел, которые находятся на пересечении этой ячейки. Например, заполним первую строку. В ячейке на пересечении двух единиц у нас получится 1+1 = 2, далее пересекаются 2 и 1 получаем 2 +1 = 3, далее 3 + 1 = 4, далее 4 + 1 = 5, далее 5 + 1 = 6 и в последней ячейке этой строки получим 6 + 1 = 7Таким образом, заполняем всю таблицу и получаем:Мы получили таблицу со всеми возможными вариантами выпадения значений двух кубиков и их сумму.

    Теперь вернемся к нашей задаче. Нам требовалось найти вероятность того, что на кубиках выпадет сумма не менее 9 очков. Следовательно, отмечаем в таблице значения больше или равные 9:Таким образом, количество вариантов, которые нас устроят (считаем количество обведенных чисел), m = 10

    А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

    Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма не менее 9 очков, равна 0,27.

    Маша подбрасывает два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме на кубиках выпадет 6 очков? Результат округлите до сотых.

    Решение. Берем нашу таблицу и находим значения, когда на кубиках сумма составит 6 очков:Итак, количество вариантов, которые нас устроят (считаем количество обведенных чисел), m = 5.

    А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

    Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:Напомним, чтобы 5/36 перевести в десятичную дробь, необходимо разделить столбиком 5,00000 на 36, в результате чего получим 0,13888. Округляем до сотых и получаем 0,14.

    Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма 6 очков, равна 0,14.

    Если вероятность появления одного события не зависит от появления другого события, и наоборот, то такие события называются независимыми.

    Если события независимые, то их вероятности перемножаются. В результате этого мы получаем вероятность возникновения этих событий одновременно.

    Давайте рассмотрим задачи с независимыми событиями.

    Стрелок стреляет 6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд? Результат округлите до сотых.

    Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность каждого из них – 0,8. Чтобы найти вероятность возникновения этих независимых событий одновременно необходимо перемножить вероятности этих событий. Таким образом:

    Р = 0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 = 0,262144

    Округляем результат до сотых и получаем 0,26.

    Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд, равна 0,26.

    Рассмотрим еще одну задачу, чуть сложнее.

    Стрелок стреляет 6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок первые 2 раза промахнется, а остальные 4 раза попадет в цель? Результат округлите до сотых.

    Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность того, что стрелок попадет или не попадет в мишень, равна 1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,8. Тогда вероятность того, что не попадет в мишень, равна 1 — 0,8 = 0,2. Нам нужно найти вероятность, когда стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет. Перемножаем соответствующие вероятности:

    Р = 0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,016384

    Округляем 0,016384 до сотых и получаем 0,02.

    Итак, вероятность того, что стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет, равна 0,02.

    Маше нужно выбрать из 8 книг 2 книги. Сколькими способами она может это сделать?

    Мы понимаем, что здесь может быть большое количество вариантов сочетаний книг. Чтобы вычислить их количество нужно знать формулу числа сочетаний из n по m: где С – это число сочетаний

    n – количество элементов, из которого нужно выбрать

    m – количество элементов, которое нужно выбрать

    В формуле присутствует факториал. Записывается факториал следующим образом: n!, 5!, 7! Напомним, что это такое.

    Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до основания факториала. Основание факториала – это число, которое стоит перед знаком «!». Т.е. факториал 5! имеет основание 5 и найти его можно следующим образом:

    А факториал n! имеет основание n:

    Часто ученики путают, что в ставить внизу, а что наверху, т.е. меняют n и m местами. Применительно к нашей задаче можно перепутать, что ставить наверху: 2 или 8. Запомнить, что ставить наверху, а что внизу – легко. Сверху всегда стоит наименьшее число, т.е. в нашем случае – это 2.

    Давайте вернемся к нашей задаче. Применяем формулу и получаем: Обратите внимание, что не нужно умножать в числителе все натуральные числа от 1 до 8, у вас это отнимет очень много времени. Достаточно подробно расписать числитель и знаменатель, сделать сокращение и все легко считается.

    Итак, Маша может выбрать книги 28 способами.

    Давайте разберем еще одну задачу.

    Из 15 школьников нужно отправить 2 учеников на дежурство. Сколькими способами можно это сделать?

    Решение. Применяем нашу формулу:

    Итак, сегодня мы разбирались, как решать задачи на вероятность. Теперь вы можете приступить к практике, ведь только большое количество тренировок позволит вам успешно справиться с заданиями ЕГЭ. Еще больше информации для подготовки к ЕГЭ по математике вы можете получить на нашем сайте, а также в нашей группе.

    источник

    При изучении темы вам может пригодится это видео

    Задача 1. На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

    Вероятность события определятся формулой: где – число благоприятных событий (исходов), – число всех возможных событий.

    Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил вопросов (число благоприятных исходов).

    Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это .

    Задача 2. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

    Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

    Задача 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

    В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:

    Всего вариантов.

    Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями, поэтому общее число исходов равно .

    Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна

    Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

    Благоприятный исход: орел-орел-орел-орел.

    Всего исходов –

    Значит, вероятность того, что решка не выпадет ни разу – есть

    Задача 5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

    Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75-27=48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48:2=24 доклада.

    Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день есть

    Задача 6. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?

    В первом туре Василий Лукин может сыграть с 26 − 1 = 25 шашистом, из которых 3 − 1 = 2 из России.

    Значит, вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России, есть

    Задача 7. В чемпионате мира учавствуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

    1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

    Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?

    Количество карточек с номером «1» – 4 штуки. Всего карточек (команд) – 20.

    Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна

    Задача 8. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?

    На клавиатуре телефона цифр меньше 4-х – 4 штуки (0; 1; 2; 3). Всего цифр 10.

    Значит, вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4 равна

    Задача 9. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?

    От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56).

    Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна

    Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях:

    Задача 11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

    Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.

    Задача 12. Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

    Частота события «гарантийный ремонт» составляет

    Вероятность же, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096.

    Разница между частотой события и вероятностью составляет

    Задача 13. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

    На циферблате между 6 часами и 9 располагаются три часовых деления.

    Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

    Задача 14. За круг­лый стол на 5 сту­льев в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 3 маль­чи­ка и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом.

    «Фиксируем» одну из девочек на одном из стульев. Благоприятной ситуацией для нас будет посадка второй девочки на один из двух стульев, стоящих рядом со стулом, занятым первой девочкой. Всего свободных стульев для второй девочки – .

    Итак, ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки будут си­деть рядом есть , то есть

    Ответ:

    источник