Меню Рубрики

Золотой призер футбольного чемпионата набрал 7 очков серебряный 5

1. В языке племени ододо всего две буквы: «Д» Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого количества следующих операций: пропуска идущих подряд буквосочетаний ДО или ООДД и добавления в любое место Означают ли слова ОДД и ДОО одно и то же?

2. Две медные трубки опускают в воду на большую глубину. Одна трубка запаяна с обоих концов, а у другой один конец открыт. Что произойдёт с трубками на глубине?

3. Восстановите запись деления, в которой некоторые цифры заменены звёздочками.

4. Известно, что длина тени, которую отбрасывает предмет, в течение дня меняется. Самая короткая тень в полдень, к вечеру тень «растёт». А есть ли на Земле такое место, где длина тени в течение дня

5. В игре «Кто первым назовёт число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число включительно. Второй прибавляет к названному любое целое число которое ему понравится, и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число и называет новую сумму. далее. Выигрывает тот, кто первым назовёт игре начинающий всегда проигрывает, если только его противник откроет один секрет. В чём же секрет, который обеспечивает второму игроку победу?

1. И сказал Кащей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься пред мои очи, задумаю три a , b , c . Назовёшь ты мне три x , у и z . Выслушаю я тебя и скажу, чему равно Тогда отгадай, какие a , b , c я задумал. голову с плеч долой». Запечалился Иван-Царевич, пошёл думу думать. Надо бы ему помочь.

2. В высокий цилиндрический сосуд диаметром упал мяч диаметром Сможете ли вы достать мяч, сосуд?

3. Лаборантка утром взвесила на особо точных весах открытый сосуд с только что вскипевшим маслом. дня, когда масло остыло, она взвесила сосуд ещё раз. Результат взвешивания оказался иным. Почему?

4. Люся переехала в новый восьмиэтажный дом. два подъезда, на каждом этаже четыре квартиры. Когда во дворе ребята спросили Люсю, в какой квартире она живёт, она сказала: «А вы отгадайте. Но на все вопросы я буду только «да» или «нет» отвечать».
Один мальчик сказал: «Я буду спрашивать, верно ли, что ты живешь в квартире, . Мне понадобится самое большее шестьдесят три вопроса».
хватит четырнадцати!— закричал самый маленький. я узнаю за семь вопросов, а ещё за семь».
А за сколько вопросов вы смогли бы узнать номер Люсиной квартиры?

1. У нас в классе 35 человек. И можешь себе представить, каждый дружит ровно с 11 одноклассниками.
— Не может этого быть,— сразу ответил своему приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады.
Почему он так решил?

2. Виктор пускал в ванне пластмассовый кораблик, нагружённый металлическими деталями от конструктора. Вдруг кораблик наклонился, и детали высыпались в воду. Изменился ли уровень воды в ванне?

3. В олимпиаде участвовали 55 школьников. Все они сдали свои работы. При проверке каждой задачи ставилась одна из трёх оценок: задача решена, задачу решал, но она задачу После проверки всех работ оказалось, что ни в каких двух работах одновременно количество и Какое наименьшее число задач могло быть предложено на олимпиаде?

4. Выезжая за город на прогулку, хозяйка взяла с собой различные продукты. Так как уксус и подсолнечное масло она налила обе жидкости в одну бутылку. Можно ли извлечь немного уксуса для салата отцу и немного масла для салата детям так, чтобы остальное масло и остальной уксус остались в бутылке?

1. На шахматной доске на поле f8 стоит ферзь. Двое по очереди передвигают ферзя либо на несколько клеток вниз, либо на несколько клеток влево, либо на несколько клеток влево–вниз по диагонали. Выигрывает тот, кто загонит ферзя в левый нижний на Известно, что в этой игре начинающий, если он играет правильно, всегда выигрывает, как бы хорошо его партнёр. Как же должен играть начинающий, чтобы выиграть? Сколько ходов ему понадобится?
А кто выигрывает при правильной начинающий или его противник, если вначале ферзь стоит на

2. На дачном участке летом стояла палатка. Когда начались морозы, палатку сняли, а участок решили перекопать. Оказалось, что сухая земля непосредственно под палаткой успела промерзнуть сильнее, чем окружающая более влажная земля. Как это объяснить?

3. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, в кружке «умелые руки», в эти кружки. Сколько «математиков» занимаются в «умелых руках»?

4. Расположите на плоскости одиннадцать одинаковых квадратов, друг на друга, так, чтобы выполнялось следующее условие: как бы эти квадраты тремя красками, обязательно какие-нибудь два квадрата одного цвета будут иметь общий участок границы.

1. Три гангстера украли из сейфа 10 бриллиантов общей стоимостью 4 000 000 долларов. При этом они рассчитывали разделить бриллианты так, чтобы каждому досталось не меньше 1 000 000 долларов. При погоне один из бриллиантов стоимостью 600 000 долларов потерялся, и такой раздел стал невозможен. Мог ли он быть возможен вначале, или гангстеры заведомо ошибались?

2. Известно, что вес тела на Луне в меньше, чем на Земле. Представьте себе, что вам предложили отправиться на Луну и проверить этот факт экспериментально. Какое оборудование вы возьмёте с собой?

3. Про три точки A , B и C известно, что для любой четвёртой плоскости расстояние хотя бы одного из расстояний BM или CM . Докажите, что лежит на отрезке BC .

4. Из двух одинаковых кусков одного и того же металла изготовили две проволоки, одна из которых длиннее другой в Одинаковы или различны сопротивления этих проволок?

5. Имеются 6 одинаковых по виду монет. Четыре из них настоящие, по каждая, а две фальшивые общим весом одна чуть более тяжёлая, другая чуть более лёгкая. Хватит ли четырёх взвешиваний, чтобы с помощью чашечных весов (без гирь) найти обе фальшивые монеты?

1. В трёх одинаковых коробках лежат по два шарика: в два чёрных, в два белых, в белый и чёрный. На каждой коробке есть табличка: на одной изображены два белых шарика, на два чёрных, на белый и чёрный. Содержимое ни одной из коробок её табличке. Как, вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым?

2. В озере плавает рыба. Она всё время плывёт в горизонтальном направлении. Дно озера очень неровное. Рыба проплывает то над глубокой впадиной, то над подводной горой, то попадает под нависшую скалу. Какие силы действуют на рыбу в этих трёх случаях?

3. Из спичек сложили три неверных равенства: и Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы все они стали верными.

4. Два одинаковых прямолинейных магнита соединили один раз так, как показано на верхнем рисунке, другой так, как на нижнем. Нарисуйте линии индукции магнитных полей в этих двух случаях.

5. На рисунке зашифрован процесс деления (уголком), в котором цифры зашифрованы буквами. Расшифруйте пример.

1. В некотором царстве каждые либо друзья, либо враги. Каждый человек может в любой момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в государстве могут стать друзьями.

2. Для каких простых чисел p числа и тоже простые?

3. Найдите множество центров тяжести треугольников OBA , у которых вершина O фиксирована, а вершины A и B лежат на двух окружностях одинакового радиуса. получится, если радиусы окружностей

4. Раскрасьте плоскость девятью красками так, чтобы никакие две точки одного цвета на расстоянии

5. Пароход плывёт из одного города в другой и обратно. Одинаковое ли время затратит пароход, если в одном случае города находятся на берегу реки, а в на таком же расстоянии на берегу озера? Скорость парохода относительно воды постоянна.

1. На рисунке изображён контур колбы, состоящий из дуг равных окружностей. Разрежьте его по двум прямым так, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат. Можно ли сложить аналогичным образом квадрат из второй фигуры?

2. Группа из 21 мальчика получила 200 орехов. Докажите, что как бы ребята ни разделили эти орехи, найдутся двое, которым достанется поровну орехов (может быть, ни одного ореха).

3. В 1815 году английский физик Чилдрен проделал такой опыт. Две платиновые проволочки одинаковых длин, но разных диаметров, он подключал к батарее Вольта. Один раз проволочки были соединены последовательно, а параллельно. случае раскалялась только тонкая проволочка, а во только толстая. ученые объяснить результаты этого эксперимента. можете? Указание: считайте, что количество теплоты, отдаваемое проводником окружающему пространству, пропорционально площади поверхности проводника и разности температур проводника и окружающего пространства.

4. Найдите все выпуклые многоугольники, обладающие следующим свойством: для любой точки внутренности многоугольника основание перпендикуляра, опущенного из неё на любую сторону, лежит внутри этой стороны.

1. Группа восьмиклассников решила после окончания учебного года поехать на экскурсию. Ежемесячно каждый ученик вносил одинаковую для всех сумму денег, и за было собрано Сколько было в классе учеников? Какую сумму денег вносил каждый ежемесячно?

2. В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

3. «Дайте мне точку опоры, и я переверну мир». Такое заявление сделал Архимед после того, как открыл правило рычага. Поскольку подходящей точки опоры (да и сейчас нет), доказать это утверждение экспериментально он Однако теоретически нетрудно убедиться в том, что Архимед несколько переоценил свои возможности (и возможности рычага). Попробуйте подсчитать, на какое расстояние пришлось бы переместить свободный конец рычага, чтобы приподнять хотя бы на тело, масса которого равна массе Земли, то есть приблизительно равна среднее усилие, создаваемое рукой человека, примерно

4. Из книги выпал её кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

5. Простые числа имеют только два различных единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

1. Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед началом турнира.
— Обратите внимание,— заметил черноволосый,— один из нас седой, другой рыжий, а третий черноволосый. Но ни у кого цвет волос фамилии. Забавно, ли?
— Ты прав,— подтвердил мастер.
Какого цвета волосы у кандидата в мастера?

2. Золотой призёр школьного чемпионата по футболу набрал Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место? Сколько команд участвовало в чемпионате? (За выигрыш даётся за за если две команды набрали одинаковое количество очков, то места определяются по разности забитых и пропущенных мячей.)

3. На пяти фишках проставлено по одной цифре: 0, 2, 4, 6, 8. Отберите из этих фишек четыре и расположите их в ряд так, чтобы полученное четырёхзначное число было квадратом некоторого целого числа.

4. Как вы думаете, будет ли в ракете, в которой все тела находятся в состоянии невесомости, гореть свечка?

1. Поп и Балда играют на «щелбаны» в следующую игру. Они, друг другу, пишут каждый последовательность из 1976 знаков «плюс» или «минус». После этого выписывают знаки по кругу: первый знак из набора Попа, первый знак из набора Балды, второй знак из набора Попа, второй знак из набора Балды и так далее. Балда даёт Попу столько щелбанов, в скольких местах плюс находится рядом с минусом. Как должен играть Поп, чтобы в наихудшем для себя случае получить поменьше щелбанов?

2. Ученики двух седьмых классов купили 737 учебников. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было семиклассников и сколько учебников закупил каждый из них?

3. На рисунке вы видите два примера на умножение. примере каждой букве соответствует своя цифра. Какой какая?

4. Числа a , b , c , d , e , f , g , h и k отличны от нуля. Докажите, что среди чисел aek , dhc , bfg , –gec , –ahf и –bdk есть хотя бы одно положительное и хотя бы одно отрицательное.

5. Представьте себе, что в воронку насыпаны мелкие металлические опилки, которые свободно вытекают из «носика» воронки. воткнута металлическая проволочка, другой конец которой намотан на стеклянную палочку. Что будет происходить с опилками, если палочку натирать куском шерстяной материи? Чтобы убедиться в правильности своего «предсказания», воспроизведите этот несложный опыт.

1. По случаю избрания Мирафлореса президентом Анчурии был устроен роскошный обед. За круглый стол сели 666 гостей, большинство из которых были лысыми. Назовём двоих сидящих по обе стороны от каждого гостя его соседями; двоих сидящих через одного от него по обе стороны,— его «вторыми соседями» и так далее. Мирафлорес заметил, что для каждого лысого ровно один из его вторых и один из его четвёртых за килограмм и конфеты стоимостью за килограмм. По какой цене надо продавать смесь из этих конфет?

3. Из спичек было сложено слово «ТОЛЯ». Переложите одну спичку так, чтобы получилось женское имя.

4. Дана доска 19×19 клеток. На каждой клетке поставлено по шашке. Можно ли переставить шашки так, чтобы каждая шашка оказалась на соседней клетке или по вертикали, но диагонали)?

5. Имеются неправильные весы с двумя чашками и сколько угодно разных правильных гирь. Как отвесить на этих весах один килограмм крупы?

источник

Инструкция о порядке проведения

ХХIII Межрегиональной

Заочной физико-математической олимпиады

Участвовать можно как в любой из указанных олимпиад, так и в любых двух по желанию учащихся и даже во всех трех.

Читайте также:  Кто кому засадил в очков

Оформленные решения и копию квитанции об оплате оргвзноса вкладывают в почтовый конверт и отсылают его не позднее 15 декабря 2016 г. по почте в адрес ОРГКОМИТЕТА.

Участникифизической олимпиадыпишут адрес:

7-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,Ф-7;

8-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,Ф-8;

9-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,Ф-9;

10-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,Ф-10.

Участники математической олимпиадыпишут адрес:

4-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-4;

5-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-5;

6-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-6;

7-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-7;

8-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-8;

9-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-9;

10-й класс: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,М-10.

Участникиолимпиады по теории вероятностейпишут адрес:

6-9-й классы: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ,ТВ.

(Для всех классов с 6-го по 9-й предлагается единый вариант задания).

Решения задач каждой из олимпиад следует высылать отдельным конвертом.

Решения можно также выслать по e-mail: avangard-school@mail.ru.

Требования к олимпиадным работам

1. Участником олимпиады считается школьник, приславший решение хотя бы одной задачи и оформивший свою работу надлежащим образом. К рассмотрению принимаются только индивидуально присланные работы.

2. При отправке по почте решения аккуратно оформляются на двойных тетрадных листах с отрезанными полями (около 2 см), сшитых книжечкой и пронумерованных.

3. На первом листе (печатными буквами. ) указывается: Ф.И. учащегося, индекс и домашний адрес, электронный адрес (по желанию), номер и адрес школы, класс, Ф.И.О. учителя математики или физики. Решение каждой задачи начинается с новой страницы. Последовательность оформления задач и их нумерация в работе должна соответствовать их нумерации в задании.

4. К решениям необходимо приложить два почтовых конверта с маркой А. На каждом конверте должен быть написан почтовый домашний адрес учащегося и обратный адрес – адрес оргкомитета. В первом конверте участнику будет выслано сообщение о регистрации работы, во втором – результаты и награды.

5. Решения в электронной форме должны быть набраны в текстовом редакторе Word кеглем 14. Порядок оформления такой же как в п.3, отдельным файлом должна быть выслана отсканированная квитанция об оплате (при оплате через банк) или распечатка подтверждения об оплате (при оплате через сайт школы).

Все участники олимпиады получат сертификат об участии в олимпиаде и информацию о Заочном физико-математическом лицее «Авангард». Победителям и призерам будут высланы дипломы, а решившим более половины задач – похвальные грамоты.

Крайний срок отсылки решений –15 декабря 2016 г.

Решения задач будут опубликованы на сайте avangard-lyceum.ru не позднее 31 декабря 2016 года.

Оргкомитет не будет рассматривать работы, присланные без копии документа, подтверждающего оплату оргвзноса на проведение олимпиады, или высланные позже 15 декабря 2016 г. Дата отправки работы определяется по почтовому штемпелю на конверте.

Оргкомитет не принимает претензий со стороны участников олимпиады, неправильно или нечетко указавших свои фамилии и имена, домашние адреса, а также не выполнивших пункты 4-5 требований к олимпиадным работам.

ОПЛАТА ОРГВЗНОСА ЗА УЧАСТИЕ В ОЛИМПИАДЕ

Оргвзнос за участие в олимпиаде можно перечислить банковским или почтовым переводом по реквизитам:

АНО ЗФМЛ «Авангард», ИНН 7724573030,

КПП 772401001, р/с №40703810138060143354

в Царицынском ОСБ 7978/01577 ОАО «Сбербанк России»

г. Москва к/с № 30101810400000000225 БИК 044525225.

Почтовый индекс Царицынского ОСБ 7978/01577: 115409.

Назначение платежа: Оргвзнос за участие в физмат олимпиаде.

Образцы заполнения квитанций на оплату через ОАО Сбербанк РФ прилагаются. Оргвзнос также можно внести через сайт Лицея, следуя инструкции на сайте avangard-lyceum.ru

ЗАДАНИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

1.Катя, Таня и Оля купили по порции мороженого и принесли его домой. Катя положила свое мороженое в блюдце на стол, Таня накрыла свое мороженое толстым слоем ваты, а Оля поставила свое мороженое под струю вентилятора. Чье мороженое дольше всех не растает?

2.Из одного куска пластилина вылепили фигурку и ее копию, только в 3 раза большей высоты. Какова масса копии, если масса оригинала 10 г?

3.Пройдя половину пути, катер увеличил скорость на 25 % и поэтому прибыл на полчаса раньше. Сколько времени он двигался?

4.Когда пассажир едет в автобусе, то навстречу ему попадаются автобусы того же маршрута каждые 5 мин. Какое максимальное время ему придется ждать на остановке до прихода автобуса? Считать, что автобусы в обоих направлениях движутся с одинаковой скоростью, а на остановках стоят очень мало.

5. Плотность сухого песка равна 2250 кг/м 3 , а плотность очень влажного песка, насыщенного водой, равна 2700 кг/м 3 . Найдите среднюю плотность песчинок.

1. Человек, несший автомобильную камеру, решил облегчить ношу. Для этого он накачал камеру, увеличив ее объем и рассчитывая использовать выталкивающую силу воздуха. Достиг ли он цели?

2. На земле лежит слой снега толщиной h = 50 см. Давление снега на землю (без учета атмосферного давления) равно:

р = 450 Па. Погода морозная, и снег состоит из воздуха и льда. Определите, сколько процентов объема снега занимает лёд, а сколько процентов – воздух. Плотность льда равна r = 0,9 г/см 3 . Ускорение свободного падения считать равным g =10 м/с 2 .

3. По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор полиции обнаружил, что если его скорость равна v1 = 36 км/ч, то через каждые τ1 = 10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости v2 = 90 км/ч через каждые τ2 = 20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили мимо инспектора, если он остановится?

4. На плоском дне водоема глубиной h = 5 м лежит золотой слиток, имеющий форму куба с ребром a = 1 дм. Плотность золота ρк = 19300 кг/м 3 . К центру верхней грани прикреплен прочный трос, за который тянут куб вверх. Какую силу нужно приложить к тросу, чтобы оторвать камень от дна? Плотность воды ρв = 1000 кг/м 3 . Атмосферное давление ра = 100 кПа. Известно, что под лежачий золотой слиток вода не течет.

5. В сосуде находится лед при температуре t1 = 0 °С. Туда влили воду массой тв = 0,4 кг, взятую при температуре tв = 60 °С. Какая температура установилась в сосуде, если конечный объем его содержимого равен V = 1 л? Чему равна масса содержимого сосуда? Плотности воды и льда rв = 1000 кг/м 3 , rл = 900 кг/м 3 , их удельные теплоемкости св = 4200 Дж/(кг×°С) и сл = 2100 Дж/(кг×°С), удельная теплота плавления льда кДж/кг. Теплоемкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.

1.Когда жители Земли движутся быстрее вокруг Солнца – в полдень или в полночь?

2. Ускорение ракеты возрастает даже в том случае, когда равно­действующая приложенных к ней сил остается неизменной. Почему?

3. Автомобиль едет все время по прямой, его скорость за первый час была 40 км/ч. В течение второго часа он «прибавил» и ехал равномерно, и средняя скорость за первые два часа составила 60 км/ч. Потом он снова прибавил скорости, и средняя скорость за первые три часа оказалась 70 км/ч. Найдите среднюю скорость движения на первой и второй половинах пути.

4. Пассажир бежит вниз по эскалатору, идущему вниз, и считает ступеньки. Пробежав весь эскалатор, он насчитал п1 = 120 ступенек. Проделав то же самое на эскалаторе, идущем вверх, он насчитал п2 = 180 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

5.Футбольный мяч при движении в воздухе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч двигался в воздухе горизонтально со скоростью v1 = 20 м/с и с ускорением a1 = = 13 м/c 2 . После удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью v2 = 10 м/с. Каково ускорение мяча сразу после удара?

10 класс

1. Круг радиусом R катится по кругу радиусом 4R. Сколько обо­ротов совершит малый круг по возвращении в первоначальное положение?

2. На гладком горизонтальном столе лежит очень жесткий тонкий стержень длиной 1 м. Четыре одинаковые пружинки прикреплены к стержню: одна к левому краю, две – к правому и одна – к середине. В начальный момент все пружинки перпендикулярны стержню и натянуты, но силы натяжения очень малы. Удлиним «серединную» пружинку, сдвинув точку А (конец этой пружинки) вдоль направления пружинки на 1 см. Найдите натяжения каждой из пружинок в растянутом состоянии. Жесткость пружинки 110 Н/см.

3.В Сингапуре решили построить супер-небоскреб: по замыслу архитектора жильцы верхнего этажа должны постоянно находиться в состоянии невесомости. Определите высоту небоскреба. Учтите: Сингапур расположен практически на экваторе.

4. В двухлитровую пластиковую бутыль через короткий шланг накачивается воздух до давления 2 атм. Шланг пережимается, и к нему присоединяется герметичный тонкостенный полиэтиленовый пакет большой ёмкости (больше 10 л) без воздуха, внутри. Бутыль вместе с пакетом кладут на одну чашку весов и уравновешивают гирями, которые помещают на другую чашку, а затем зажим ослабляется. Воздух из бутыли перетекает в пакет, и равновесие весов нарушается. Груз какой массы и на какую чашку весов нужно положить, чтобы равновесие весов восстановилось? Плотность воздуха равна 1,3 кг/м 3 , ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 .

5. Сплошной шарик из алюминия диаметром 1 см бросили в 50 %-ный раствор азотной кислоты. В данных условиях с одного квадратного сантиметра поверхности растворяется 10 -4 г алюминия в час. Через какое время шарик полностью растворится в кислоте? Плотность алюминия r = 2,7 г/см 3 .

ЗАДАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

1. Чему равно произведение двух чисел, если оно больше одного из них в 20 раз и больше другого в 5 раз?

2. Часы со стрелками отстают на 6 минут каждый день. Через сколько дней они будут показывать опять верное время?

3. Деревянный кубик с ребром 4 см окрасили в синий цвет, а затем распилили на одинаковые кубики с ребром 1 см. Сколько получилось маленьких кубиков только с одной синей гранью?

4. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько каждому из них лет, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3.

5. До царя дошла весть, что кто-то из трёх богатырей убил Змея Горыныча. Приказал царь явиться им ко двору. Молвили богатыри:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович».

Алёша Попович: «Я змея убил».

Известно, что только один богатырь сказал правду, а два слукавили. Кто убил змея?

1. Найдите пятизначное число, каждая последующая цифра которого на единицу больше предыдущей, а сумма цифр равна 30.

2. Длина ребра куба полметра. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из них равна 2 мм. Кубики затем уложили в один сплошной ряд. Чему равна длина ряда?

3. Серёже 11 лет, Вове 1 год. Сколько лет будет Серёже, когда он станет втрое старше Вовы?

4. Два верблюда и восемь баранов стоят 18 таньга. Пять вер­блюдов и два барана стоят 27 таньга. Сколько стоит отдельно верб­люд и баран?

5. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

1. Последовательные числа. Ряд чисел назовём последовательными числами, если каждое следующее число больше предыдущего на 1. Например: 16, 17, 18…

Миша сложил три последовательных числа и получил 2016. Укажите эти числа.

2. Назовите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.

3. Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. рис.). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

4. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть от полученного уровня понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

5. На острове всего два города, в одном живут рыцари, в другом – лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Встретились три человека. А говорит: «В лжец». В говорит: «А и С из одного города». Кто такой С?

1.Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше, чем число его единиц.

2. Некто сказал: «Когда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих лет, мне станет 100 лет». Сколько ему лет?

3. Число 51,2 трижды увеличивается на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшается на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов сначала увеличивали, а потом уменьшали число?

4. Трое жителей острова рыцарей и лжецов разговаривали между собой. Путешественник спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?». Тот пробурчал что-то непонятное. Тут вмешался В: «Он сказал, что он лжец!». «Не верьте В, он лжец!» – воскликнул С. Кто есть кто?

Указание. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

5. Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем Катя выпила 1/4 всего молока и 1/6 всего кофе. Сколько человек в семье?

1. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы оно получилось кратным 72.

2. Каких чисел больше: пятизначных, все цифры которых чётные, или пятизначных, все цифры которых нечётные (цифры повторяются)?

3. Найдите наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33.

Читайте также:  Средство для очищения линз очков

4. Один из попугаев А, В, С всегда говорит правду (т.е. рыцарь), другой всегда лжет (т.е. лжец), а третий – хитрец (иногда говорит правду, иногда лжет). На вопрос «Кто В?» они ответили:

С: «Абсолютно честный попугай».

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

5. Решите уравнение: 2х 2 + 5у 2 – 4ху – 2у – 4х + 5 = 0.

1. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа.

2. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

3. В Банановой республике прошли выборы в парламент, в которых участвовали все жители. Все голосовавшие за партию «Мандарин» любят мандарины. Среди голосовавших за другие партии 90 % не любят мандарины (остальные любят). Сколько процентов голосов набрала партия «Мандарин» на выборах, если ровно 46 % граждан Банановой республики любят мандарины.

4. На острове всего два города, в одном живут рыцари, в другом – лжецы. Встретились три человека А, В и С. А говорит: «В лжец». В говорит: «А и С из одного города». С говорит: «А рыцарь». Кто есть кто? Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

5. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину всех своих монет, затем снова первый проиграл половину своих монет. Проигрыш они каждый раз отдавали сопернику. В результате у первого пирата оказалось 15 монет, а у второго – 33. Сколько монет было в начале игры у первого пирата?

1. Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу.

2. Золотой призер футбольного чемпионата набрал 7 очков, серебряный – 5 очков, бронзовый – 3 очка. Чемпионат проводился в один круг, то есть каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место, если за победу дается 2 очка, за ничью – 1 очко и за поражение – 0 очков?

3. Решите уравнение |x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x – 2| = x + 2.

4. На острове рыцарей и лжецов живут 100 человек. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

1) Поклоняетесь ли вы богу Солнца?

2) Поклоняетесь ли вы богу Луны?

3) Поклоняетесь ли вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй – 40 человек, на третий – 30 человек. Сколько на острове лжецов? Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

5. Решите систему уравнений:

источник

«Золотой мяч» – высшая индивидуальная награда в футболе от журнала France Football, которую получает лучший футболист года.

С 1956 по 1995 год «Золотой мяч» вручали лучшему европейскому игроку, а с 1995-го награду мог получить игрок любой национальности, но выступающий за европейский клуб. С 2007 года приз вручают независимо от национальности и клуба.

В 2010 году «Золотой мяч» от France Football объединили с наградой «Игрок года ФИФА», в результате чего появился новый приз – «Золотой мяч ФИФА». Но в 2016 году награды вновь разделили, теперь ФИФА выбирает «Игрока года ФИФА», а «Золотой мяч» выдает France Football.

«Золотой мяч» Христо Стоичкова в музее «Барселоны». Фото: shutterstock.com

Все «Золотые мячи» изготавливает парижский ювелирный дом Mellerio dits Meller. Мяч состоит из латуни, установлен на основании из пирита и покрыт золотым слоем.

За «Золотой мяч» от France Football голосуют спортивные журналисты со всего мира.

ФИФА выбирает «Лучшего игрока ФИФА», а голосуют все капитаны и тренеры национальных сборных плюс один журналист от каждой страны из 211 федераций ФИФА, а также учитываются голоса фанатов на fifa.com.

Каждый выбирает по три игрока: победителя, второе и третье место. Победителю ФИФА засчитывает пять очков, второму игроку – три, третьему – одно очко. После чего очки складывают, а игрок с наибольшим количеством очков выигрывает награду.

Стэнли Мэттьюз из «Блэкпула» стал первым обладателем «Золотого мяча». Джордж Веа из «Милана» стал единственным представителем Африки и первым неевропейским игроком, который получил награду после смены правил. Роналдо из «Интернационале» стал первым обладателем «Золотого мяча» из Южной Америки.

Лионель Месси выигрывал награду шесть раз, Криштиану Роналду – пять. Три игрока получали «Золотой мяч» по три раза: Йохан Кройф из «Аякса» и «Барселоны», Мишель Платини из «Ювентуса» и Марко Ван Бастен из «Милана».

Криштиану Роналду с «Золотым мячом». Фото: shutterstock.com

По семь раз «Золотой мяч» получали представители Германии, Нидерландов и Португалии. Чаще всего лучшими становились игроки «Реала» и «Барселоны»: у мадридцев 11 наград, у каталонцев – 12.

Восемь игроков за свою карьеру футболиста выигрывали Чемпионат мира, Кубок европейских чемпионов / Лигу чемпионов и получали «Золотой мяч»: Бобби Чарльтон, Франц Беккенбауэр, Герд Мюллер, Паоло Росси, Зинедин Зидан, Ривалдо, Роналдиньо и Кака.

В 2018 году на «Золотой мяч» претендовали 30 игроков, включая хорвата Луку Модрича, португальца Криштиану Роналду, аргентинца Лионеля Месси и бразильца Неймара. Получил награду Лука Модрич, который с мадридским «Реалом» выиграл Лигу чемпионов, а на чемпионате мира дошел с Хорватией до финала и стал лучшим игроком ЧМ-2018.

Модрич прервал десятилетнюю гегемонию Роналду и Месси. Криштиану занял второе место, на третьем оказался Антуан Гризманн, на четвертой позиции – Килиан Мбаппе, а Месси занял лишь пятое место в рейтинге.

Награду получил Лионель Месси. Аргентинец обошел Вирджила ван Дейка, Криштиану Роналду, а также Садио Мане. Этот «Золотой мяч» стал шестым для аргентинца, чаще награду не выигрывал ни один футболист.

Лионель Месси с шестым «Золотым мячом». Фото: 90min.com

«Золотой мяч» France Football (1956–2009)

1956 Англия Стэнли Мэттьюз «Блэкпул»
1957 Испания Альфредо Ди Стефано «Реал Мадрид»
1958 Франция Раймон Копа «Реал Мадрид»
1959 Испания Альфредо Ди Стефано «Реал Мадрид»
1960 Испания Луис Суарес «Барселона»
1961 Италия Омар Сивори «Ювентус»
1962 Чехословакия Йозеф Масопуст «Дукла» (Прага)
1963 СССР Лев Яшин «Динамо» (Москва)
1964 Шотландия Денис Лоу «Манчестер Юнайтед»
1965 Португалия Эйсебио «Бенфика»
1966 Англия Бобби Чарльтон «Манчестер Юнайтед»
1967 Венгрия Флориан Альберт «Ференцварош»
1968 Северная Ирландия Джордж Бест «Манчестер Юнайтед»
1969 Италия Джанни Ривера «Милан»
1970 ФРГ Герд Мюллер «Бавария»
1971 Нидерланды Йохан Кройф «Аякс»
1972 ФРГ Франц Беккенбауэр «Бавария»
1973 Нидерланды Йохан Кройф «Барселона»
1974 Нидерланды Йохан Кройф «Барселона»
1975 СССР Олег Блохин «Динамо» (Киев)
1976 ФРГ Франц Беккенбауэр «Бавария»
1977 Дания Аллан Симонсен «Боруссия» (Мёнхенгладбах)
1978 Англия Кевин Киган «Гамбург»
1979 Англия Кевин Киган «Гамбург»
1980 ФРГ Карл-Хайнц Румменигге «Бавария»
1981 ФРГ Карл-Хайнц Румменигге «Бавария»
1982 Италия Паоло Росси «Ювентус»
1983 Франция Мишель Платини «Ювентус»
1984 Франция Мишель Платини «Ювентус»
1985 Франция Мишель Платини «Ювентус»
1986 СССР Игорь Беланов «Динамо» (Киев)
1987 Нидерланды Рууд Гуллит «Милан»
1988 Нидерланды Марко Ван Бастен «Милан»
1989 Нидерланды Марко Ван Бастен «Милан»
1990 Германия Лотар Маттеус «Интернационале»
1991 Франция Жан-Пьер Папен «Олимпик Марсель»
1992 Нидерланды Марко Ван Бастен «Милан»
1993 Италия Роберто Баджо «Ювентус»
1994 Болгария Христо Стоичков «Барселона»
1995 Либерия Джордж Веа «Милан»
1996 Германия Маттиас Заммер «Боруссия» (Дортмунд)
1997 Бразилия Роналдо «Интернационале»
1998 Франция Зинедин Зидан «Ювентус»
1999 Бразилия Ривалдо «Барселона»
2000 Португалия Луиш Фигу «Реал Мадрид»
2001 Англия Майкл Оуэн «Ливерпуль»
2002 Бразилия Роналдо «Реал Мадрид»
2003 Чехия Павел Недвед «Ювентус»
2004 Украина Андрей Шевченко «Милан»
2005 Бразилия Роналдиньо «Барселона»
2006 Италия Фабио Каннаваро «Реал Мадрид»
2007 Бразилия Кака «Милан»
2008 Португалия Криштиану Роналду «Манчестер Юнайтед»
2009 Аргентина Лионель Месси «Барселона»

«Золотой мяч ФИФА» (2010–2015)

2010 Аргентина Лионель Месси «Барселона»
2011 Аргентина Лионель Месси «Барселона»
2012 Аргентина Лионель Месси «Барселона»
2013 Португалия Криштиану Роналду «Реал Мадрид»
2014 Португалия Криштиану Роналду «Реал Мадрид»
2015 Аргентина Лионель Месси «Барселона»

«Золотой мяч» France Football с 2016

2016 Португалия Криштиану Роналду «Реал Мадрид»
2017 Португалия Криштиану Роналду «Реал Мадрид»
2018 Хорватия Лука Модрич «Реал Мадрид»
2019 Аргентина Лионель Месси «Барселона»

Этот приз достался Альфредо Ди Стефано в 1989 году за то, что он превзошел Йохана Кройфа и Мишеля Платини в голосовании France Football.

В 2016 году France Football пересмотрел награды до 1995 года, когда «Золотой мяч» получали только игроки из Европы. Первоначальных победителей наград не лишили, а назначили по два победителя на один год. К списку с Марадоной и Пеле добавили Гарринчу, Марио Кемпеса и Ромарио.

Пеле и Франц Беккенбауэр. Фото: shutterstock.com

Результаты пересмотра наград до 1995 года:

Год Первый победитель Второй
1958 Раймон Копа Пеле
1959 Альфредо Ди Стефано Пеле
1960 Луис Суарес Пеле
1961 Омар Сивори Пеле
1962 Йозеф Масопуст Гарринча
1963 Лев Яшин Пеле
1964 Денис Лоу Пеле
1970 Герд Мюллер Пеле
1978 Кевин Киган Марио Кемпес
1986 Игорь Беланов Диего Марадона
1990 Лотар Маттеус Диего Марадона
1994 Христо Стоичков Ромарио

Несмотря на уход эпохи Криштиану и Лео, они остаются на первых местах по количеству «Золотых мячей».

Игрок Количество «Золотых мячей»
Лионель Месси 6 (2009, 2010, 2011, 2012, 2015, 2019)
Криштиану Роналду 5 (2008, 2013, 2014, 2016, 2017)
Мишель Платини 3 (1983, 1984, 1985)
Йохан Кройф 3 (1971, 1973, 1974)
Марко Ван Бастен 3 (1988, 1989, 1992)
Франц Беккенбауэр 2 (1972, 1976)
Роналдо 2 (1997, 2002)
Альфредо Ди Стефано 2 (1957, 1959)
Кевин Киган 2 (1978, 1979)
Карл-Хайнц Румменигге 2 (1980, 1981)

Остальные игроки выигрывали по одному разу.

У Советского союза три обладателя «Золотого мяча»: Лев Яшин из московского «Динамо», Олег Блохин из «Динамо» киевского и его одноклубник Игорь Беланов.

Мы написали крутую статью о Льве Яшине. Прочтите её, чтобы больше узнать о карьере лучшего вратаря XX века.

Лев Яшин с «Золотым мячом». Фото: shutterstock.com

Страна Игроки Мячи
Германия 5 7
Нидерланды 3 7
Португалия 3 7
Франция 4 6
Аргентина 1 6
Италия 5 5
Бразилия 4 5
Англия 4 5
СССР 3 3
Испания 2 3

Футболисты из других стран выигрывали «Золотой мяч» по одному разу.

Благодаря победе Луки Модрича «Реал» стал лидером по обладателям «Золотого мяча». Хорват стал седьмым представителем мадридского клуба вслед за Альфредо ди Стефано (1957, 1959), Раймоном Копой (1958), Луишем Фигу (2000), Роналдо (2002), Фабио Каннаваро (2006) и Криштиану Роналду (2013, 2014, 2016, 2017).

Чаще всего «Золотой мяч» выигрывали футболисты «Барселоны» – 12 раз, при этом половину получил Лионель Месси.

Лука Модрич. Фото shutterstock.com

Клуб Обладатели Мячи
Реал Мадрид 7 11
Барселона 6 12
Ювентус 6 8
Милан 6 8
Бавария (Мюнхен) 3 5
Манчестер Юнайтед 4 4
Динамо (Киев) 2 2
Интернационале 2 2
Гамбург 1 2

Игроки остальных клубов выиграли по одному «Золотому мячу».

источник

1. Чему равно произведение двух чисел, если оно больше одного из них в 20 раз и больше другого в 5 раз?

Решение.

2. Часы со стрелками отстают на 6 минут каждый день. Через сколько дней они будут показывать опять верное время?

Решение. Часовая стрелка станет на старое место, когда отстанет на 12 часов (на циферблате 12 часовых делений). В 1 часе 60 минут, а в 12 часах 720 минут, следовательно, сколько раз 6 частей содержится в 720, через столько дней часовая стрелка вернётся на старое место, т. е. 720 : 6 = 120 (дн.).

3. Деревянный кубик с ребром 4 см окрасили в синий цвет, а затем распилили на одинаковые кубики с ребром 1 см. Сколько получилось маленьких кубиков только с одной синей гранью?

Решение. В каждой грани куба таких кубиков только 4, т. е. те, которые находятся в середине (см. рис.) Так как всего граней 6, то таких маленьких кубиков будет 4 ? 6 = 24.

4. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько каждому из них лет, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3.

Ответ: Свете – 5 лет, Юре – 8 лет, Тане – 13 лет, Лене – 15 лет.

5. До царя дошла весть, что кто-то из трёх богатырей убил Змея Горыныча. Приказал царь явиться им ко двору. Молвили богатыри:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович».

Алёша Попович: «Я змея убил».

Известно, что только один богатырь сказал правду, а два слукавили Кто убил змея?

Решение. Если два человека говорят одно и то же, то либо оба они говорят правду, либо оба лукавят. Добрыня и Алёша сказали одно и то же, значит, оба они слукавили.

1. Найдите пятизначное число, каждая последующая цифра которого на единицу больше предыдущей, а сумма цифр равна 30.

2. Длина ребра куба полметра. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из них равна 2 мм. Кубики затем уложили в один сплошной ряд. Чему равна длина ряда?

3. Серёже 11 лет, Вове 1 год. Сколько лет будет Серёже, когда он станет втрое старше Вовы?

Решение. Пусть через х лет Серёже будет втрое больше лет, чем Вове, тогда (11 + х) = 3(х + 1), 11 – 3 = 2х, х = 4. Значит, Серёже будет 15 лет.

4. Два верблюда и восемь баранов стоят 18 таньга. Пять верблюдов и два барана стоят 27 таньга. Сколько стоит отдельно верблюд и баран?

Решение. Если 2 верблюда и 8 баранов стоят 18 таньга, то верблюд и 4 барана стоят 9 таньга. По условию 5 верблюдов и 2 барана стоят 27 таньга. Значит, 6 верблюдов и 6 баранов стоят 27 + 9 = 36 (таньга). Следовательно, 1 верблюд и 1 баран стоят 36 : 6 = 6 (таньга).

Ести 1 верблюд и 4 барана стоят 9 таньга, а 1 верблюд и 1 баран стоят 6 таньга, то 4 – 1 = 3 (барана) стоят 9 – 6 = 3 (таньга). Значит, 1 баран стоит 1 таньга, в 1 верблюд 6 – 1 = 5 (таньга).

Читайте также:  Очки в цветной оправе с диоптрией

Ответ: баран стоит 1 таньга, в верблюд – 5 таньга.

5. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

Решение. Как только вы освободитесь от догмы, что фонарик обратно должен носить самый быстрый, то есть папа, и станете рассматривать другие варианты, то скоро догадаетесь, что надо пустить вместе бабушку и малыша. Теперь решение уже не очень сложно найти. Итак:

сначала мама с папой – 2 минуты,

папа обратно с фонариком – 1 минута,

бабушка с малышом – 10 минут,

мама обратно с фонариком – 2 минуты

Итого 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.

1. Последовательные числа. Ряд чисел назовём последовательными числами, если каждое следующее число больше предыдущего на 1. Например: 16, 17, 18…

Миша сложил три последовательных числа и получил 2016. Укажите эти числа.

Решение. п – 1 + п + п + 1 = 3п = 2016, п = 672, т. е. п – 1 = 671, п + 1 + 673.

2. Назовите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.

Решение. 10х + у = 5(х + у) > 5х = 4у > х = 4, у = 5. Тогда: 4 + 5 = 9, 5 ? 9 = 45.

3. Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. рис.). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

Решение. Заметим, что сторона самого большого квадрата равна сумме сторон двух квадратов: следующего за ним по часовой стрелке и самого маленького. Обозначив сторону самого большого квадрата через х, последовательно выразим стороны других квадратов: х – 1, х – 2, х – 3 (см. рис.). Теперь заметим, что длина верхней стороны прямоугольника равна х + (х –1), а длина нижней равна (х – 2) + (х – 3) + (х – 3). Но ведь противоположные стороны прямоугольника равны. Получаем уравнение:

Отсюда 2х – 1 = 3х – 8; 3х – 2х=-1+8 и, значит, х = 7.

4. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть от полученного уровня понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

Решение. Поскольку половина персиков составляет 1/3 от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет 1/6 часть от всего компота. 1/6 : 2/3 = 1/4.

5. На острове всего два города, в одном живут рыцари, в другом – лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Встретились три человека. А говорит: «В лжец». В говорит: «А и С из одного города». Кто такой С?

Решение. Всего возможны 8 вариантов ответа, изобразим их в виде таблицы.

Пусть А – лжец, тогда В – рыцарь, значит, С – лжец. А и С – из одного города. Нет противоречий (вариант № 7). С – лжец.

Пусть А – рыцарь, тогда В – лжец. Значит, А и С – из разных городов, т. е. С – лжец (вариант № 4).

1. Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше, чем число его единиц.

Решение. 10х + у = 7у > 10х = 6у > 5х = 3у, х = 3, у = 5.

2. Некто сказал: «Когда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих лет, мне станет 100 лет». Сколько ему лет?

Решение. , х = 48.

3. Число 51,2 трижды увеличивается на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшается на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов сначала увеличивали, а потом уменьшали число?

Решение. 51,2?(1 + х)3(1 – х)3 = 21,6 > или 50 %.

4. Трое жителей острова рыцарей и лжецов разговаривали между собой. Путешественник спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?». Тот пробурчал что-то непонятное. Тут вмешался В: «Он сказал, что он лжец!». «Не верьте В, он лжец!» – воскликнул С. Кто есть кто?

Указание. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

Решение. Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: «Я лжец». Значит, В – лжец, а С – рыцарь. Кто такой А – узнать невозможно.

Ответ: В – лжец, С – рыцарь. Кто такой А – узнать невозможно.

5. Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем Катя выпила 1/4 всего молока и 1/6 всего кофе. Сколько человек в семье?

Решение. Пусть п – число чашек (число человек в семье), а х – количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество выпитого кофе равно п – х. Катя выпила одну чашку кофе с молоком, которая состояла из четверти всего молока (х/4) и одной шестой всего кофе ((п – х)/6). Получаем:

3х + 2(п – х) = 12 > х + 2п = 12.

Так как п – целое число, то из последнего равенства следует, что х – целое число, причём чётное (х = 12 – 2п). Кроме того, х? п, так как количество выпитого молока, конечно, не больше, чем общее количество напитка. Теперь небольшим перебором находим, что последнее уравнение имеет три решения: п = 6, х = 0; п = 5, х = 2; п = 4, х = 4. При этом первое и последнее решения отвечают случаю, когда все пили просто молоко или просто кофе, а второе – когда пили действительно кофе с молоком.

1. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы оно получилось кратным 72.

Решение. 72 = 9?8. Сумму цифр делим на 9, число, состоящее из последних трёх цифр, делим на 8.

2. Каких чисел больше: пятизначных, все цифры которых чётные, или пятизначных, все цифры которых нечётные (цифры повторяются)?

Решение. Если все цифры чётные, то таких чисел 4?5?5?5?5. Если все цифры нечётные, то 5?5?5?5?5. Тогда 4?5?5?5?5 > 5?5?5?5?5.

Ответ: больше тех, у которых все цифры нечётные.

3. Найдите наименьшее число, которое записано только единицами и делится на 33.

Решение. Число должно содержать чётное число единиц и иметь сумму цифр, делящуюся на 3. Наименьшее точное число 111 111.

4. Один из попугаев А, В, С всегда говорит правду (т. е. рыцарь), другой всегда врёт (т. е. лжец), а третий – хитрец (иногда говорит правду, иногда врёт). На вопрос «Кто В?» они ответили:

С: «Абсолютно честный попугай».

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

Решение. В – либо лжец, либо хитрец.

1. Допустим, что В – хитрец, А – лжец, тогда С – рыцарь, но он говорит неправду – противоречие.

2. Допустим, что В – хитрец, А – рыцарь, тогда В– лжец – противоречие, значит, В – не хитрец.

3. Допустим, что В – лжец, тогда А – рыцарь, С – хитрец. Всё сходится.

Ответ: В – лжец, А – рыцарь, С – хитрец.

5. Решите уравнение: 2х2 + 5у2 – 4ху – 2у – 4х + 5 = 0.

Решение. Преобразуем левую часть данного уравнения:

(х2 – 4ху + 4у2) + (х2 – 4х + 4) + (у2 – 2у + 1) = 0 >

Так как сумма квадратов может быть равной 0, только если каждый из них равен 0, то одновременно выполняются равенства (х – 2)2 = 0, (у – 1)2 = 0, (х – 2у)2 = 0, откуда х = 2, у = 1 и х = 2у. Заметим, что последнее равенство при найденных значениях х и у верно.

1. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа.

2. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которые делятся на 2, 5, 9, 11.

Решение. У чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих делителей, поэтому если число делится на каждое из них, то оно делится на их произведение. То есть искомое число делится на 2?5?9?11 = 990. Выпишем все четырёхзначные числа, которые делятся на 990: 1980, 2970, 3960, 4650, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900. Наибольшее из них равно 9900, но у него есть совпадающие цифры. А наибольшее из них должно иметь разные цифры – это 8910.

3. В Банановой республике прошли выборы в парламент, в которых участвовали все жители. Все голосовавшие за партию «Мандарин» любят мандарины. Среди голосовавших за другие партии 90 % не любят мандарины (остальные любят). Сколько процентов голосов набрала партия «Мандарин» на выборах, если ровно 46 % граждан Банановой республики любят мандарины.

Решение. Пусть всё население республики N человек, и пусть из них за «Мандарин» проголосовало М человек. Тогда, с одной стороны, мандарины любят 0,46?N человек, а с другой – это число равно числу проголосовавших за «Мандарин» (т. е. М) плюс 10 % оставшихся (т. е. 0,1?(N – M)). Получаем уравнение:

М + 0,1(N – M) = 0,46N > М + 0,1N – 0,1M = 0,46N > 0,9М = 0,36N,

откуда . Таким образом, за партию «Мандарин» проголосовало 40 % населения республики.

4. На острове всего два города, в одном живут рыцари, в другом – лжецы. Встретились три человека А, В и С. А говорит: «В лжец». В говорит: «А и С из одного города». С говорит: «А рыцарь». Кто есть кто?

Пусть А – рыцарь, тогда В – лжец, значит А и С НЕ из одного города, т. е. С – лжец. С говорил, что А – рыцарь, т. е. правду. Это невозможно, так как С – лжец. Противоречие!
Пусть А – лжец, тогда В – рыцарь, значит, С – лжец. Но тогда А и В из одного города, т. е. В – лжец. Все верно!

Ответ: А и С – лжецы, В – рыцарь.

5. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину всех своих монет, затем снова первый проиграл половину своих монет. Проигрыш они каждый раз отдавали сопернику. В результате у первого пирата оказалось 15 монет, а у второго – 33. Сколько монет было в начале игры у первого пирата?

Решение. Попробуем проследить »с конца», сколько у какого пирата было монет после каждой игры. В последней игре первый проиграл второму половину своих монет, после чего у него осталось 15 монет. Но это ровно столько, сколько он только что отдал второму! Значит, перед этим у первого было 15 . 2 = 30 монет, а у второго было 33 – 15 = 18 монет. Аналогично, во второй игре второй пират проиграл ровно столько, сколько у него осталось после второй игры, то есть 18 монет. Получаем, что перед второй игрой у второго пирата было 18 . 2 = 36 монет, а у первого было 30 – 18 = 12 монет. Проделав самостоятельно ещё один шаг рассуждения, вы найдёте, что вначале у пиратов было по 24 монеты.

1. Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все 10 цифр по одному разу.

Указание. Сумма цифр делится на 9, а число, составленное из двух последних цифр, делится на 4, т. е. 36 = 9?4.

2. Золотой призер футбольного чемпионата набрал 7 очков, серебряный – 5 очков, бронзовый – 3 очка. Чемпионат проводился в один круг, то есть каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько очков набрала команда занявшая последнее место, если за победу дается 2 очка, за ничью – 1 очко и за поражение – 0 очков?

Решение. Пусть на чемпионате участвовали п команд. Всего сыграно п(п – 1)/2 матчей, значит разыгрывалось п(п – 1) очков. Последние п – 3 команды (исключая призёров) набрали не более чем по 3 очка. Поэтому п(п – 1) ? 7 + 5 + 3 + 3?(п – 3), то есть п2 – 4п – 6 ? 0, откуда п? 5. Если бы п? 4, то всего в чемпионате было бы разыграно не более 3?4 = 12 очков, тогда как одни призёры набрали 15 очков. Следовательно, п = 5. Пусть четвёртая команда набрала х очков, а последняя, пятая – у очков. Тогда у? х? 3 и 7 + 5 + 3 + х + у = 4?5 (число разыгранных очков). Поэтому х + у = 5, откуда х = 3, у = 2, в силу того, что у? х? 3.

3. Решите уравнение |x + 1| – |x| + 3|x – 1| – 2|x – 2| = x + 2.

4. На острове рыцарей и лжецов живут 100 человек. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

1) Поклоняетесь ли вы богу Солнца?

2) Поклоняетесь ли вы богу Луны?

3) Поклоняетесь ли вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй – 40 человек, на третий – 30 человек. Сколько на острове лжецов?

Решение. Каждый лжец дал 2 удовлетворительных ответа, а каждый рыцарь – один. А всего утвердительных ответов 60 + 40 + 30 = 130. Пусть на острове будет лжецов х, соответственно рыцарей у. Тогда получим:

Итак, на острове 70 рыцарей и 30 лжецов.

5. Решить систему уравнений

Указание. Сложите все уравнения, получив утроенную сумму всех неизвестных. Далее сложите первое, четвёртое и седьмое уравнения и получите х1 = 1. Остальные неизвестные находятся аналогично.

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4, х5 = –4, х6 = –3, х7 = –2, х8 = –1.

источник